Метод Симпсона (парабол)

В этом методе отрезок [a,в] разбивается на 2_n частей, длинной h= и ординаты сверху соединяются кривой второго порядка (3 соседних точки).

Расчетная формула имеет вид :

у (y₀+ 4y₁+ 2y₂ + 4y₃ + …+ 4y_2n*1 + y_2n)

y₀= f(a), y₁= f(a+2h), y₂= f(a+2h)… y_2n-1= f(в-h)

y₂_n= f(в).

+1при i- нечётн. -1 при i- чётн.

Для упрощения расчётов введём переменную с_i

c_i= , тогда формула примет вид:

у (f(a)+f(в)+ (3+c_i))

PROGRAM PRYAMOUGOLNIK;

CONST a= 0.4; b= 1.2; n=100;

var x,y:real;

у=0; х=а

i: integer;

function f (x:real):real;

begin

y=y+f(x)

f:= (sin(x*x+0.5)/cos(x*x+0.5))/(1+2*x*x);

end;

x=x+(b-a)/n

begin

y:=0; x:=a;

y=y*(b-a)/n

for i:=0 to n do

begin

y:=y+f(x);

x:=x+(b-a)/n;

end;

y:=y*(b-a)/n;

writeln('y=',y:8:5);

readln;

end.

ОТВЕТ:

y=0.28099

у=0; х=а

PROGRAM TRAPEZIA;

h=(b-a)/n x=a+h

CONST a=0.4; b=0.8; n=100;

var x,y,h,s:real;

s:=(f(a)+f(b))/2

n: integer;

function f (x:real):real;

begin

s=s+f(x)

f:= (sin(x*x+0.5)/cos(x*x+0.5))/(1+2*x*x);

end;

x:=x+h

begin

h:=(b-a)/n;

y:=s*h

x:=a+h;

s:=(f(a)+f(b))/2;

while x<=b-h do

begin

s:=s+f(x);

x:=x+h;

end;

y:=s*h;

writeln('y=',y:8:5);

readln;

end.

ОТВЕТ:

y=0.28173

h=(b-a)/2n

PROGRAM SIMPSON;

s:=f(a)+f(b)

LABEL 10;

CONST a= 0.4; b=0.8; n=100;

c:=1 x:=x+h

var x,y,h,s:real;

c,n: integer;

s:=s+(3+c)*f(x)

function f (x:real):real;

begin

x:=x+h

f:= (sin(x*x+0.5)/cos(x*x+0.5))/(1+2*x*x);

c=-c

end;

begin

h:=(b-a)/(2*n);

s:=f(a)+f(b);

y:=s*h/3

c:=1;

x:=a+h;

10: s:=s+(3+c)*f(x);

x:=x+h;

c:=-c;

if x<= b-h then goto 10;

y:=s*h/3;

writeln('y=',y:8:5);

readln;

end.

ОТВЕТ:

y= 0.27919

Решение интеграла в ППП "Eureka"

y=integ((sin(x^2+0.5)/cos(x^2+0.5))/(1+2*x^2),x,0.4,0.8)

y=0.2823564

Методы решения дифференциальных уравнений

При использовании различных протекающих во времени процессах первым этапом является составление дифференциального уравнения, описывающего процесс, а вторым – поиск решения этого уравнения. Дифференциальным уравнением называется равенство, связывающее значение аргумента, неизвестной функции некоторых ее производных. Наивысший порядок входящих в уравнение производных называется порядком дифференциального уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

y=f(x,y) (1)

Уравннение (1) имеет бесконечное множество решений (рис. 1) – через каждую точку плоскости проходит интегральная кривая. Чтобы выделить одну кривую, нужно указать точку плоскости, через которую проходит кривая, т.е. указать так называемые начальные уравнения (значения x=x₀ и y=y₀) (2)

Метод Эйлера

Одним из методов решения дифференциального уравнения (1) с начальным условием (2) является метод Эйлера.

Будем рассматривать уравнение (1) на некотором отрезке [a,b]. Пусть отрезок поделен на n частей с шагом .

Обозначим X₀=a, X₁=X₀+h, X₂=X₀+2h,…, X_n=X₀+nh=b. Обозначим искомые y(X₁),…y(X_n) через y₁…y_n.

Методика решения уравнения (1) с начальными условиями (2) связяна с разложением решения в ряд Тейлора в h-окрестности точки X₀.

При отбрасывании членов ряда, содержащие производные второго и высшего порядков, получим

где f(X,y) – правая часть уравнения (1).

Таким образом,

При достаточно малой величине шага h метод Эйлера дает решения с большей точностью, т.к. погрешность близка к h² (h<<1) на каждом шаге интегрирования.

Метод Рунге-Кутта

Недостатком метода Эйлера является змедление вычислений при выборе малой величины шага h, задающей точность решения.

Наиболее распространенным методом численного интегрирования дифференциальных уравнений служит метод Рунге-Кутта, обеспечивающий ускорение за счет большей точности вычислений на каждом шаге. Точность метода Рунге-Кутта оценивается величиной E≈h².

Уточнение достигается за счет специального подбора координат четурех точек, в которых вычисляется первая производная f(x,y). Вместо первой производной h∙f(x,y) используемой в формуле Эйлера, вычисляется усредненная первая производная f_i.

Формулы интегрирования по методу Рунге-Кутта имеют вид: