На рисунке 15 три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна
во втором
Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора.
Существует много доказательств теоремы Пифагора, проведенных как каждым из описанных методов, так и с помощью сочетания различных методов. Завершая обзор примеров различных доказательств, приведем еще рисунки, иллюстрирующие восемь способов, на которые имеются ссылки в «Началах» Евклида (рис. 16 – 23). На этих рисунках Пифагорова фигура изображена сплошной линией, а дополнительные построения – пунктирной.
Как уже было сказано выше, древние египтяне более 2000 лет тому назад практически пользовались свойствами треугольника со сторонами 3, 4, 5 для построения прямого угла, т. е. фактически применяли теорему, обратную теореме Пифагора. Приведем доказательство этой теоремы, основанное на признаке равенства треугольников (т. е. такое, которое можно очень рано ввести в школе). Итак, пусть стороны треугольника ABC (рис. 24) связаны соотношением
|
|
c2 = a2 + b2. (3)
Докажем, что этот треугольник прямоугольный.
Построим прямоугольный треугольник A1B1C1 по двум катетам, длины которых равны длинам a и b катетов данного треугольника (рис. 25).
Пусть длина гипотенузы построенного треугольника равна c1. Так как построенный треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем: c12 = a2 + b2. (4)
Сравнивая соотношения (3) и (4), получаем, что
c12 = c2, или c1 = c.
Таким образом, треугольники – данный и построенный – равны, так как имеют по три соответственно равные стороны. Угол C1 прямой, поэтому и угол C данного треугольника тоже прямой.