Интегрирование корреляционных функций знакопеременных аномалий

 

Другое свойство автокорреляционных функций для случая знакопеременных аномалий заключается в следующем. Пусть f(x) — гравитационная или магнитная аномалия, автокорреляционная функция которой B(τ) имеет нуль в одной точке τ₀ (вторая точка нуля находится в бесконечности). Для таких аномалий

 (1.36)

 

Переходя под интегралом от автокорреляционной функции к энергетическому спектру и меняя пределы интегрирования, для первого интеграла правой части получаем

 

 (1.37)

 

С другой стороны, для знакопеременных аномалий на основании теорем о спектре производных получим

 

 

где S₁(ω) — спектр аномалии f(x) (например, гравитационной аномалии V_xz или V_zz), а S(ω) — спектр исходной незнакопеременной аномалии (например, аномалии V_z), который обращается в нуль только при . При ω = 0 с учетом формула (1.2) из последнего равенства получим.

 

 (1.38)

 

или

 

Тогда должно выполняться равенство

 

, (1.39)

 

т.е. положительная часть площади под функцией B(τ) и осью τ должна равняться отрицательной. Поэтому из равенства (1.36) получим

 

 (1.40)

 

Это равенство определяет важное свойство автокорреляционных функций знакопеременных аномалий и позволяет заменить бесконечные пределы интегрирования модуля автокорреляционных функций конечными — только от 0 до τ₀.

На основании формулы (3.37) запишем аномалии

 

 (1.41)

 

Это равенство позволяет перейти от интегрирования автокорреляционных функций к интегрированию энергетических спектров.

Для трехмерных знакопеременных по осям x и y аномалий получим равенство, аналогичное (1.40) (соответственно для произвольных и осесимметричных аномалий):

 

 (1.42)

 (1.43)

где ξ₀ и η₀ — горизонтальные координаты точек перехода автокорреляционной функции через нуль. Тогда аналогично равенству (1.40) сможем написать:

 

 (1.44)

 (1.45)

 

Аналогично формуле (1.41) в трехмерном случае соответственно для произвольных f(x, y) осесимметричных f(r) знакопеременных аномалий с учетом равенств (1.42), (1.43) мож­но получить следующие выражения:

 

 (1.46)

 (1.47)

 

Полученные соотношения имеют важное практическое применение, в частности они будут использованы в дальнейшем при определении значений радиуса корреляции знакопеременных гравитационных и магнитных аномалий.

Расчётная часть

 

Возьмём нормированную автокорреляционную функцию для случаев вертикальной производной порядка n = 0. Рассмотрим ёе поведение для бесконечной материальной горизонтальной линии, бесконечной горизонтальной полосы и для бесконечной вертикальной материальной полосы.

1. Бесконечная горизонтальная материальная линия.

 

 

Рассматриваем для значений h = 0,5; 2; 3.

График изменения автокорреляционной функции при различных h

 

 

2. Бесконечная горизонтальная полоса шириной 2l.

 

 

где b = τ/2h, a = l/h, A = b + a, c = b – a;

Примем l = 3h, тогда получим график изменения автокорреляционной функции

 

 

3. Бесконечная вертикальная материальная полоса, высотой Δh = h₂ – h₁.

 

 

где b = τ/h₁, a + 1 = k, a + 2 = E.

Получим графики изменения функции для данных тел.

 

Список литературы

 

1. Серкеров С. А. Спектральный анализ гравитационных и магнитных аномалий. — М.: Недра, 2002.