Интерполяционный сплайн степени 3, дефекта 1

Дважды непрерывно – дифференцируемый – сплайн.

Пусть задана табличная функция на [a;b], причем a= χ₀ ≤ χ₁<…< χ_n=b (узлы сплайна совпадают с узлами интерполяции). Общий вид:

Условия:

1.) g(x_i) = f(x_i)=y_i, i=   

2.) g(x) = c² (дважды дифференцируема) [a;b]

3.) – краевые условия

Для нахождения неизвестных коэффициентов введем функцию

 g_n(x) = a_k(x-x_k)³+ b_k(x-x_k)²+c₁(x-x_k)+d_k, xÎ[ x_k-1;x_k]

1.) g₁(x₀) = y₀, g₁(x₁) = y₁, g₂(x₂) = y₂,… g_n(x_n) = y_n

2.) первое условие (сплайн интерполяционный)

3.)

Краевые условия:

Таким образом, для нахождения 4n неизвестных мы построим 4n условий.

Теорема(10.1). Интерполяционный сплайн вида (10.5) для функции f(x) единственен.

Теорема(10.2). Пусть g(x)- интерполяционный сплайн степени 3 дефекта 1, построенный для функции f(x) С⁴ на отрезке [a;b], тогда для  найдется такая константа C>0, что:

|f(x)- g(x)|<C ⁴, [a;b],

= max(x_k-x_k-1), 1≤ k ≤ n

- максимальное расстояние между узлами интерполяции.

Линейный фильтр

Понятие линейного сплайна позволяет сформулировать подходы к построению линейных фильтров, предназначенных для устранения случайных ошибок в данных.

Обычно в ходе измерений на процесс фиксации данных оказывают влияние случайные помехи. Для того, чтобы уменьшить влияние этих помех на качество интерполяции осуществляют пересчет значений функции в узлах интерполяции по следующей формуле: