Равносоставленность треугольников. Теорема Больяя-Гервина

Немало формул и теорем в геометрии доказывается с помощью разрезания фигур, а затем перекладывания их частей – вспомним, например, теорему Пифагора. Если две фигуры можно разрезать на одинаковые наборы частей (т. е. между частями из таких наборов можно установить взаимнооднозначное соответствие, при котором соответственные части равны), то эти фигуры называются равносоставленными. Равносоставленные фигуры, разумеется, равновелики – они имеют равные площади. Для многоугольников верна и обратная теорема: любые два равновеликих многоугольников равносоставлены. В 1832 г. Её доказал венгерский математик Фаркаш Больяй, а годом позже, но независимо от него, немец П. Гервин. Ключ к доказательству – перекройка прямоугольника, показанная на рисунке 1.40: разрезав «низкий» прямоугольник на два треугольника и пятиугольник, сдвинув треугольники вдоль наклонной линии разреза, мы получаем другой, «высокий» прямоугольник.

Рис. 1.40

Этим способом данный прямоугольник не трудно превратить почти в любой другой равновеликий ему – надо только, чтобы новый прямоугольник был «выше» исходного, но не более, чем вдвое. Если же отношение высот прямоугольников больше двух (рис. 1.41, а), «низкий» можно «сделать повыше» с помощью простого преобразования (рис. 1.41, б), применённого нужное число раз.

а)                                                б)

Рис. 1.41

Теперь любой многоугольник мы сумеем перекроить в прямоугольник какой-то фиксированной высоты h: разрежем его на треугольники, каждый треугольник превратим в прямоугольник (рис. 1.42), приведём полученные прямоугольники к некоторой постоянной высоте h и состыкуем вертикальными сторонами.

Рис. 1.42

Если два треугольника равновелики, то соответствующие им прямоугольники к некоторой постоянной высоте h равны. Таким образом, эти многоугольники равносоставлены с одной и той же фигурой, а отсюда уже заключаем, что они равносоставлены между собой.