ГЛАВА III. Математическая теория проводимости МЖ

III.1. Теория проводимости

Плотность тока дрейфа под действием кулоновского поля в любой момент времени определяется выражением (при одном знаке носителей):

,

где g – заряд отдельного носителя, n – концентрация носителей, v _др – скорость дрейфа.

В более общем случае для двух носителей , где знаки «+» и «-» относятся к положительным и отрицательным носителям соответственно.

Т.к. , (m – подвижность), то , считая, что , и что , то , где s - коэффициент электропроводимости.

Наряду с током, обусловленным дрейфом, возникает диффузионный ток с плотностью

,

где r _з – объемная плотность заряда, равная gn, D – коэффициент диффузии, определяемый соотношением Нернста-Эйнштейна.

,

тогда полный ток составит (в случае носителей одного знака)

;

.

При условии продолжительного действия поля E наступает динамическое равновесие, при котором :

.

Отсюда нетрудно получить с учетом  для одномерного случая , что

 или .

После интегрирования можно получить

здесь  – значение r при .

Разделение носителей заряда неоднородно ввиду различия их состава, массы, подвижности. Поэтому и m, и E являются функциями координат. Среднее значение плотности тока по толщине кондуктометрической ячейки КЯ вдоль оси ОХ, перпендикулярной площади электродов будет

,

причем, согласно уравнению Пуассона

для одномерного случая .

Если в КЯ находятся и свободные и связанные (фиксированные) заряды r _св и r _связ, то

,

отсюда .

Тогда, считая для простоты , можно записать:

.

Пусть граничными условиями будут:

1. при ;

2. при ,

тогда, так как

,

 – приращение потенциала, то

.

Это выражение можно преобразовать

,

 – суммарное поле внутри КЯ. Это легко связать с поверхностной плотностью s ^* зарядов обоих типов .

В то же время  учтя это, можно получить

Поведение  можно оценить по ее производной. Пусть , тогда  и

.

При этом МЖ должна быть нейтральной. Пусть полный заряд

Тогда ,  по модулю.

Но тогда  и .

Т.к.  и , где v – объем КЯ и , S – площадь, то , т.к. , а , тогда .

.

Это линейная функция, где C ¢ имеет смысл удельной электропроводности s. Следовательно, если ток протекает, то он должен подчиняться закону Ома (см. рис.).