Уравнение образа прямой при аффинном преобразовании

Как известно из определения аффинного преобразования, прямая переходит на прямую. Возьмём уравнение прямой , где .                     (3)

Любая точка M(z), принадлежащая этой прямой, при аффинном преобразовании (2) перейдёт в некоторую точку M’(z’), комплексная координата которой                                       . Выразим из этого равенства и сопряжённого к нему : откуда получаем , то есть

, где .                              (4)

Это формула преобразования, обратного аффинному преобразованию (2).

Но вернёмся к нашим рассуждениям и подставим в (3) выражение z через z ’ и  в результате чего получим следующее равенство:

. Теперь раскроем скобки и сгруппируем множители перед z’ и , а оставшиеся слагаемые будем считать свободным членом, получим уравнение образа прямой:

.       (5)

Очевидно, что это уравнение прямой: коэффициенты при z’ и  сопряжены, а свободный член является действительным числом. Таким образом, получили уравнение образа прямой при аффинном преобразовании (2).

Формула обратного преобразования

В предыдущем параграфе нами была найдена формула (4) преобразования, обратного аффинному преобразованию (2). Покажем, что данное преобразование также является аффинным. Для этого достаточно доказать, что его определитель не равен нулю.

Рассмотрим определитель преобразования (4), он равен: , приведём к общему знаменателю и сократим на общий множитель, получим: , где , следовательно, определитель обратного преобразования (4) находится в следующей зависимости с определителем преобразования (2):  и он не равен нулю. Следовательно, обратное преобразование (4) также является аффинным, что и требовалось доказать.