Линейные однородные системы

 

Пусть А – непрерывная квадратная матрица порядка n, элементами которой служат непрерывные комплексные функции, определенные на t-интервале I. Линейная система

 

 (ЛО)

 

Называется линейной однородной системой порядка n. Для любого ξ и для τ I существует единственное решение φ системы (ЛО) на интервале I, удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ. Замечание: если каждый элемент матрицы А измерим на I и

 

, (*)

 

где m интегрируема по Лебегу на I, то существует единственное решение φ системы (ЛО), удовлетворяющее условию φ(τ) = ξ. В дальнейшем будем полагать, что для А выполняется по крайней мере условие (*).

Нулевая вектор-функция на I является решением системы (ЛО). Это решение называется тривиальным. Если решение системы (ЛО) равно нулю для некоторого , то в силу теоремы единственности оно равно нулю тождественно на I.

Теорема 2.1. Множество всех решений системы (ЛО) на интервале I образует n-мерное векторное пространство над полем комплексных чисел.

Доказательство. Если φ₁ и φ₂ – решения (ЛО) и с₁, с₂ – комплексные числа, то с₁φ₁ + с₂φ₂ также является решением (ЛО). Это показывает, что решения образуют векторное пространство.

Чтобы доказать, что это пространство n-мерно, следует показать, что существует n линейно зависимых решений φ₁, φ₂, …, φ_n, таких, что каждое другое решение системы (ЛО) есть линейная комбинация (с комплексными коэффициентами) этих φ_i. Пусть ξ_i, i=1, 2, …, n – линейно независимые векторы n-мерного х-пространства. Например, за ξ_i можно взять вектор со всеми компонентами, равными нулю, кроме i-й, которая равна 1. Тогда, по теореме существования, если , то существуют решения φ_i, i=1, 2, …, n, системы (ЛО), для которых φ_i(τ) = ξ_i. Покажем, что эти решения удовлетворяют поставленному выше условию.

Если бы решения φ_i были линейно зависимы, то существовали бы n комплексных чисел, не равных одновременно нулю и таких, что

 

.

 

Отсюда следует равенство

 

 

противоречащее предположению о том, что векторы ξ_i линейно независимы.

Если φ – некоторое решение (ЛО) на I, такое, что φ(τ)=ξ, то можно найти (единственным образом определенные) постоянные с_i, удовлетворяющие равенству

 

,

 

ибо векторы ξ_i образуют базис n-мерного х-пространства. Поэтому функция

 

 

есть решение (ЛО), принимающее при t = τ значение ξ, и, следовательно, в силу теоремы единственности

 

 

Итак, каждое решение φ есть (единственная) линейная комбинация φ_i и теорема 2.1 полностью доказана.

Всякое множество φ₁, φ₂, …, φ_n линейно зависимых решений системы (ЛО) называется базисом или фундаментальным множеством решений системы (ЛО).

Если Ф – матрица, n столбцов которой являются n линейно независимыми решениями (ЛО) на I, то Ф называется фундаментальной матрицей системы (ЛО). Очевидно, Ф удовлетворяет матричному уравнению

 

.                                                           (2.1)

 

Под матричным дифференциальным уравнением, соответствующим системе (ЛО) на I, подразумевается задача отыскания квадратной матрицы Ф порядка n, столбцы которой являются решениями системы (ЛО) на I. Эта задача обозначается так:

 

.                                                                  (2.2)

 

Матрица Ф называется решением задачи (2.2) на I, и Ф удовлетворяет уравнению (2.1). Из теоремы 2.1. следует, что зная фундаментальную матрицу системы (ЛО), которая является, разумеется, частным решением уравнения (2.2), мы будем знать полную систему решений системы (ЛО).

 Теорема 2.2. Для того, чтобы решение-матрица уравнения (2.2) была фундаментальной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы det Ф(t) 0 для .

Замечание. Если det Ф(t) 0 для некоторого , то в силу (1.8) det Ф(t) 0 для всех t.

Доказательство теоремы 2.2. Пусть Ф – фундаментальная матрица, столбцами которой являются векторы φ_j, и пусть φ – некоторое нетривиальное решение системы (ЛО). В силу теоремы 2.1 существуют единственным образом определенные постоянные с₁, с₂, …, с_n, не равные все нулю и такие, что

 

 

или, выражая при помощи матрицы Ф,

 

 

где с – вектор-столбец с элементами с₁, с₂, …, с_n. Это соотношение при каждом  есть система n линейных уравнений с неизвестными с₁, с₂, …, с_n, имеющая единственное решение для каждого φ(τ). Поэтому det Ф(τ) 0 и, по сделанному выше замечанию, det Ф(t) 0 для каждого . Заметим, что это доказывает линейную независимость векторов-столбцов фундаментальной матрицы для каждого .

Наоборот, пусть Ф – матрица-решение уравнения (2.2) и пусть det Ф(t) 0 для каждого . Таким образом, векторы-столбцы матрицы Ф линейно независимы для каждого .

Матрица из векторов-столбцов может иметь определитель, тождественно равный нулю на интервале I, даже при линейно независимых векторах.

Например, пусть

 

 

для каждого действительного интервала I. Содержание теоремы 2.2 состоит в том, что этого не может случиться для векторов, которые являются решениями системы (ЛО).

Теорема 2.3. Если Ф – фундаментальная матрица для системы (ЛО) и С – (комплексная) постоянная неособая матрица, то ФС также является фундаментальной матрицей системы (ЛО). Каждая фундаментальная матрица системы (ЛО) может быть представлена в такой форме при помощи некоторой неособой матрицы С.

Доказательство. Из (2.1), если Ф – фундаментальная матрица, вытекает, что

 

,

Или

 

 

и, следовательно, ФС есть матрица-решение уравнения (2.2). Так как

 

det (ФС)=(det Ф)(det С) 0,

 

то ФС – фундаментальная матрица.

Наоборот, если Ф₁ и Ф₂ – две фундаментальные матрицы, то Ф₂ = Ф₁С, где С – некоторая постоянная неособая матрица. Для доказательства этого положим Ф₁^-1Ф₂ = Ψ(t). Тогда Ф₂ = Ф₁Ψ. Дифференцируя это равенство, получим, что . Отсюда и из (2.1) следует, что , или . Поэтому  и, следовательно, матрица ψ = С постоянна. Она неособая, так как этим свойством обладают Ф₁ и Ф₂.

Замечания. Если предполагать, что Ф₂ – решение, то матрица С может быть особой.

Заметим, что если Ф – фундаментальная матрица системы (ЛО) и С – постоянная неособая матрица, то СФ, вообще говоря, не является фундаментальной матрицей.

Две различные однородные системы не могут иметь одну и ту же фундаментальную матрицу, ибо из уравнения (ЛО) следует, что  Поэтому матрица Ф определяет матрицу А однозначно, хотя обратное утверждение и неверно.

Сопряженные системы. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО), то

 

или, переходя к сопряженным матрицам,

 

 

Поэтому - фундаментальная матрица для сопряженной системы (ЛО) и матричное уравнение

 

.                                                               (2.3)

 

Система (2.3) называется сопряженной для системы (ЛО) и матричное уравнение

 

                                                             (2.4)

 

называется сопряженным для уравнения (2.2.). Это соответствие симметрично, ибо (ЛО) и (2.2) сопряжены (2.3) и (2.4) соответственно.

Теорема 2.4. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО), то Ψ есть фундаментальная матрица для сопряженной системы (2.3) в том и только в том случае, когда

 

                                                                                 (2.5)

 

где С – постоянная неособая матрица.

Доказательство. Если Ф - фундаментальная матрица для системы (ЛО) и Ψ есть фундаментальная матрица системы (2.3), то так как - фундаментальная матрица частного вида уравнения (2.3),

 

где D – некоторая постоянная неособая матрица (теорема 2.3). Поэтому

 

 

и можно принять С = D^*.

Наоборот, если Ф - фундаментальная матрица для сопряженной системы (ЛО) и удовлетворяет (2.5), то  или  и, следовательно, в силу теоремы 2.3 Ψ - фундаментальная матрица сопряженной системы (2.3).

Если А = - А^*, то , будучи фундаментальной матрицей для системы (2.3), является также фундаментальной матрицей для системы (ЛО). Поэтому в силу теоремы 2.3  или

 

                                                                                          (2.6)

 

где С – постоянная неособая матрица. Из уравнения (2.6), в частности, следует, что эвклидова длина каждого вектора-решения системы (ЛО) постоянна.

Понижение порядка однородной системы. Если известно m (0<m<n) линейно зависимых решений системы (ЛО), то можно понизить порядок системы на m единиц, и следовательно, дело сведется к решению линейной системы порядка n-m.

Предположим, что φ₁, φ₂, …, φ_m - m линейно независимых векторов, которые являются решениями системы (ЛО) на интервале I. Пусть вектор φ_j имеет компоненты φ_ij (i = 1, …, n). Тогда ранг прямоугольной матрицы с элементами φ_ij (i = 1, …, n; j = 1, …, m) для каждого  равен m, так как ее столбцы линейно независимы. Это означает, что для каждого  в этой матрице найдется отличный от нуля определитель порядка m. Выберем некоторое  и предположим для определенности, что в точке t₀ отличен от нуля определитель матрицы Ф_m с элементами φ_ij (i = 1, …, m; j = 1, …, m). Тогда в силу непрерывной зависимости определителя от его элементов φ_ij и непрерывности функций φ_ij в окрестности t₀ получим, что det Ф_m(t) 0 для t из некоторого интервала , содержащего t₀. Пусть  - один из таких интервалов; процесс понижения проведем для . (Идея этого процесса является модификацией метода вариации произвольных постоянных.)

Пусть матрица U имеет своими первыми m столбцами векторы φ₁, φ₂, …, φ_m и своими n-m столбцами – векторы е_m+1, …, e_n, где e_j – вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, кроме j-го, который равен 1. Очевидно, что U – неособая матрица на . Сделаем в (ЛО) подстановку

 

 x = Uy.                                                                                     (2.7)

 

Заметим, что решениям х = φ_j (j = 1, …, m) при подстановке (2.7) соответствуют решения y = e_j (j = 1, …, m). Поэтому подстановку (2.7) можно рассматривать как систему относительно y, которая должна иметь решения e_j (j = 1, …, m).

Подставляя (2.7) в систему (ЛО), получаем

 

 

или в координатах,

 

 (i = 1, …, m),

 (i = m+1, …, n).

 

Выражая то обстоятельство, что векторы φ_j с компонентами φ_ij являются решениями системы (ЛО), получаем

 

 (i = 1, …, n; j = 1, …, m),

 

откуда следует, что

 

 (i = 1, …, m),

 (i = m+1, …, n).                             (2.8)

 

Так как det Ф_m 0, то из первых m уравнений (2.8) можно выразить производные  (i = 1, …, m) через φ_ij, a_ik и y_k (k = m+1, …, n), и затем эти значения  подставить в остальные формулы (2.8). Мы получим совокупность уравнений первого порядка, которым удовлетворяют функции y_i (i = m+1, …, n) вида

 

 (i = m+1, …, n),                                     (2.9)

 

т.е. линейную систему порядка n-m.

Рассуждая в обратном порядке, предположим, что , …,  (  имеет компоненты  (i, j = m+1, …, n)) есть фундаментальная система решений на  для системы (2.9). Пусть  - матрица с элементами  (i, j = m+1, …, n). Очевидно, что det 0 на . Для каждого j = m+1, …, n пусть  (i = 1, …, m) определяется с помощью квадратур уравнений

                                             (2.10)

 

(i = 1, …, m; p = m+1, …, n).

Пусть  (p = m+1, …, n) обозначает с компонентами (i = 1, …, n) и пусть (p = 1, …, m). Так как  (p = m+1, …, n) удовлетворяют системе (2.9) и первым m уравнениям (2.8), то они должны также удовлетворять остальным n-m уравнениям (2.8), и поэтому  (p = m+1, …, n) являются решениями системы (2.8). таким образом, если Ψ – матрица со столбцами  (p = m+1, …, n) и

 

Ф=U Ψ,

 

то Ф есть матрица-решение (ЛО) на I. U – неособая матрица.

Так как det =det  на , то Ф есть неособая матрица на  и, следовательно, является фундаментальным решением для системы (ЛО) на I.

Теорема 2.5. Пусть φ₁, φ₂, …, φ_m (m < n) – m известных линейно независимых решений системы (ЛО), причем φ_j (j = 1, …, m) имеют компоненты φ_ij (i = 1, …, n). Предположим, что определитель матрицы с элементами φ_ij (i, j = 1, …, m) на некотором подинтервале интервала i не обращается в нуль. Тогда с помощью подстановки (2.7) задачу определения n линейно независимых решений системы (ЛО) на  можно свети к решению системы (2.9)порядка n-m и к квадратурам (2.10).

Избавимся теперь от ограничения, что матрица Ф_m неособая на некотором интервале. Ясно, что прямоугольная матрица с элементами φ_ij (i = 1, …, n; j = 1, …, m) имеет ранг m в силу независимости решений φ_j (j = 1, …, m). Таким образом, для каждого t = t₀ существует неособая квадратная матрица порядка m, которую мы получим, выбирая m строк i₁, …, i_m из прямоугольной матрицы с n строками и m столбцами. В силу непрерывности эта матрица неособая на некотором интервале .

Хорошо известно и легко доказывается, что существует такая постоянная неособая матрица Т, применив которую к любому вектору х с n компонентами, получим матрицу Тх, имеющую своим m первыми компонентами компоненты вектора х с номерами i₁, …, i_m. Полагая =Тх, мы заменим (ЛО) аналогичной системой, для которой выполняется первоначальное ограничение. Так как х=Т^-1 , то утверждение для х следует из доказанного уже утверждения для .