Случайная погрешность

Случайная погрешность (random error term) показывает, что рыночная модель не очень точно объясняет доходности ценных бумаг. Другими словами, когда рыночный индекс возрастает на 10% или уменьшается на 5%, то доходность ценной бумаги А не обязательно равняется 14% или — 4% соответственно. Разность между действительным и ожидаемым значениями доходности при известной до­ходности рыночного индекса приписывается случайной погрешности. Таким образом, если доходность ценной бумаги составила 9% вместо 14%, то разность в 5% является случайной погрешностью (т.е. _AI= —5%; этот факт будет проиллюстрирован на рис. 8.11). Аналогич­но, если доходность ценной бумаги оказалась равной — 2% вместо — 4%, то разность в 2% является случайной погрешностью _AI= +2%.

Случайную погрешность можно рассматривать как случайную переменную, кото­рая имеет распределение вероятностей с нулевым математическим ожиданием и стан­дартным отклонением, обозначенным . Таким образом, ее можно рассматривать как результат вращения колеса рулетки специального типа.

Например, случайную погрешность ценной бумаги А можно рассматривать как переменную, связанную с колесом рулетки, на котором равномерно расположены це­лые значения от -10% до +10%⁷. Это означает, что существует 21 возможный результат вращения колеса рулетки, каждый из которых равновероятен. Отсюда следует, что при заданном наборе чисел среднее значение случайной погрешности равняется нулю:

[ -10 х 1/₂₁] + [-9 х 1/₂₁] +... + [9 х 1/₂₁] + [Ю х i_/21] = 0.

Можно заметить, что данное вычисление представляет собой сумму произведений всех возможных результатов на вероятность их появления. Теперь можно показать, что стандартное отклонение данной случайной погрешности равняется 6,06%:

{[(-10 - 0)² х 1/₂₁] + (-9 - 0)  х 1/₂₁] +... + [(9 - 0)  х 1/21,] +
 + [(10 - 0)² х 1/₂₁]}^1/2 = 6,06.

Данное вычисление включает в себя вычитание среднего значения из каждого воз­можного результата, затем возведение в квадрат каждой из этих разностей, умноже­ние каждого квадрата на вероятность получения соответствующего результата, сумми­рование произведений и, наконец, извлечение квадратного корня из результирующей суммы.

Рисунок 9 представляет колесо рулетки, соответствующее этой случайной по­грешности. В общем случае случайные погрешности ценных бумаг соответствуют ру­леткам с другими крайними значениями и другими неравномерными интервалами между значениями. Хотя все они имеют математическое ожидание, равное нулю, стандартные отклонения у них могут быть различными. Например, ценная бумага В может иметь случайную погрешность с нулевым ожидаемым значением и стандартным отклонени­ем, равным 4,76%⁸.