Использование конечно разностных соотношений для аппроксимации производных

Производной функции y=f(x) в точке x₀ называется предел при Dx®0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует). Для обозначения производной функции y=f(x) в точке x₀ используют символы y'(x₀) или f'(x₀). То есть, по определению,

 

 (1.1)

 

Аппроксимацией (приближением) производной с помощью отношения конечных разностей называется соотношение (1.2) в котором значения Dу, Dх конечные, в отличие от их бесконечно малых значений в (1.1).

 

 (1.2)

 

Пусть функция задана таблично с постоянным шагом h.

 

x0	x1	x2	…	xn
y0	y1	y2	…	yn

 

В зависимости от способа вычисления конечных разностей можно получить разные формулы для вычисления производных в одной и той же точке. Например, для нахождения производной y₁' можно использовать формулы левых, правых и центральных разностей, которые имеют следующий вид соответственно: '

Dy₁=y₁-y₀, Dx=h, y₁'=(y₁-y₀)/h;

Dy₁=y₂-y₁, Dx=h, y₁'=(y₂-y₁)/h;

Dy₁=y₂-y₀, Dx=2h, y₁'=(y₂-y₀)/2h.

 

Аналогично можно найти выражения для определения старших производных. Например:

 

y₁''=(y₁')'=(y₂'-y₁')/h=((y₂-y₁)/h-(y₁-y₀)/h)h=(y₂-2y₁+y₀)/h².

Оценим погрешность численного дифференцирования с помощью рассмотренных конечно-разностных соотношений. Для этого аппроксимируем функцию f(x) некоторой функцией j(x), т.е. представим её в виде

 

f(x)=j(x)+R(x). (1.3)

 

В качестве j(x) можно принять частичную сумму ряда или интерполяционную формулу. Тогда погрешность аппроксимации R(x) определяется остаточным членом ряда или интерполяционной формулы. Аппроксимирующая функция j(x) может быть использована для приближённого вычисления производной. Дифференцируя равенство (1.3) необходимое количество раз, можно найти значение производной f^(l)(x)=j^(l)(x)+R^(l)(x). Величина R^(l)(x)= f^(l)(x)-j^(l)(x) называется погрешностью аппроксимации производной.

При численном дифференцировании функции, заданной в виде таблицы с шагом h, эта погрешность зависит от h и её записывают в виде O(h^k). Показатель степени k называют порядком погрешности аппроксимации производной. При этом предполагается, что |h|<1.

Оценку погрешности легко проиллюстрировать с помощью ряда Тейлора:

 

 

 

Пусть функция f(x) задана в виде таблицы f(x_i)=y_i, i=0,1,…n. Запишем разложение этой функции в ряд Тейлора при x=x₁, Dx=-h с точностью до членов ряда порядка h:

 

y₀ = y₁-y₁'h + O(h²).

 

Отсюда можно найти значение производной в точке x=x₁:

y₁' = (y₁-y₀)/h + O(h²)/h = (y₁-y₀)/h + O(h).

 

Эта формула совпадает с формулой нахождения производной с помощью левых разностей и имеет первый порядок точности.

Аналогично, при x=x₁, Dx=h получается выражение для нахождения производной с помощью правых разностей, которая также имеет первый порядок точности:

 

y₁' = (y₂-y₁)/h + O(h).

 

Используем теперь ряд Тейлора для оценки погрешности аппроксимации производной с помощью центральных разностей. Полагая Dx=-h и Dx=h при x=x₁, можно получить:

 

Вычитая первое равенство из второго, получаем

 

 

 

Откуда можно получить выражение для нахождения производной с помощью правых разностей, которая имеет второй порядок точности:

y₁' = (y₂-y₀)/2h + O(h²).

 

Складывая оба равенства, можно оценить погрешность аппроксимации производной второго порядка:

y₁'' = (y₂'-2y₁'+y₀')/h² + O(h²).

 

Эта аппроксимация имеет также второй порядок точности.

 

Вывод

Существует много способов решения данной проблемы, а именно нахождения производной. Все они имеют свои преимущества и недостатки. Говоря о достоинствах рассматриваемого нами метода (неопределённых коэффициентов), можно сказать о:

1.Его точности

2.Простом способе применения

3.Его распространённости