Цилиндрические функции обладают простыми асимптотическими представлениями, удобными для аппроксимации этих функций при больших по модулю значениях и фиксированном значении индекса [5]. Главные члены этих формул можно получить, исходя из дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют рассматриваемые функции.
Из цилиндрических функций наиболее простые асимптотические представления имеют функции третьего рода.
Чтобы получить асимптотическое представление функции , воспользуемся равенством
(8.1)
и преобразуем его с помощью подстановки . Тогда получим
(8.2)
Заменяя множитель биноминальным разложением с остаточным членом
и интегрируя почленно, находим
(8.3)
где
Предположим, что ( – произвольное малое положительное число) и будем временно считать, что выбрано так, что Оценка остаточного члена по модулю тогда дает
при фиксированном
Таким образом, для больших
(8.4)
Покажем, что условие, наложенное на , может быть отброшено. Действительно, если , то можно выбрать такое , что . Представив с помощью формулы (8.4), где заменено на , и замечая, что
мы снова приходим к прежнему результату.
Также легко с помощью соотношения освободиться от ограничения, наложенного на параметр .
Наконец, если воспользоваться вместо (8.1) интегральным представлением несколько более общего вида, можно показать, что найденная асимптотическая формула остается справедливой в более широком секторе [5].
Таким образом, окончательно для больших
(8.5)
где
Асимптотическое представление для функции получается аналогичным способом из формулы
(8.6)
и имеет следующий вид:
(8.7)
Асимптотические представления для цилиндрических функций первого и второго рода следуют из выведенных формул (8.5) и (8.7) и соотношений (5.1). Мы находим
(8.8)
(8.9)
Асимптотические формулы для модифицированных цилиндрических функций могут быть получены с помощью соотношений пункта 6.
Окончательные формулы имеют следующий вид:
(8.10)
(8.11)
знак соответствует
При условии, что , второе слагаемое в (8.10) будет мало, и эта формула может быть записана в виде
(8.12)
Из (8.5) и (8.7 – 8.12) следует, что расходящиеся ряды, получающиеся, если формально положить , являются асимптотическими для функций, стоящих в левых частях рассматриваемых равенств.
Способ, при помощи которого выведены рассматриваемые формулы, дает только порядок величины остаточного члена, но не позволяет сделать более точных заключений. При специальных предположениях относительно и можно, путем некоторого видоизменения рассуждений, получить значительно более точные результаты. Так, например, можно показать, что если и – вещественные положительные числа и число взято настолько большим, что то остатки асимптотических разложений для и будут численно меньше первых отбрасываемых членов. В асимптотическом представлении для тот же результат имеет место при .