Нули цилиндрических функций

 

При решении многих прикладных вопросов необходимо иметь представление о распределении нулей цилиндрических функций на плоскости комплексного переменного и уметь приближенно вычислять их значения.

Распределение нулей функций Бесселя с целым положительным значком, т. е. решений уравнения

 

                                                                (9.1)

 

устанавливается следующей теоремой.

Теорема 4. Функция  не имеет комплексных нулей и имеет бесконечное множество вещественных нулей, расположенных симметрично относительно точки , которая, в случае  принадлежит к их числу. Все нули функции – простые, за исключением точки , которая при  является соответственно нулем кратности .

Распределение нулей функций Бесселя с произвольным вещественным индексом , т. е. решений уравнения

 

 – вещественно,                                                      (9.2)

 

дается более общей теоремой 5.

Теорема 5. Функция  – любое вещественное число) имеет бесконечное множество вещественных положительных нулей и конечное число  комплексных сопряженных нулей, где, в зависимости от значения параметра ,

(1)  если  или

(2)  при

Если  среди комплексных нулей имеется пара чисто мнимых.

Все нули функции простые, исключая, может быть, точку .

В математической физику часто встречается уравнение

 

                                              (9.3)

 

(где  и  – заданные вещественные числа, ), которое можно рассматривать как обобщение уравнения (9.2). При указанном ограничении параметра  рассматриваемое уравнение имеет бесконечное множество положительных корней и не имеет комплексных корней, за исключением случая , когда это уравнение имеет два чисто мнимых корня.

Распределение нулей функции  может быть выведено из теоремы 5 с помощью соотношений пункта 6. В частности, отметим важный результат, что при  все нули функции  чисто мнимые. Функция Макдональда  при вещественном  не имеет нулей в области . Нули функции, лежащие в остальной части разрезанной плоскости, комплексные сопряженные и число их конечно.

Для приближенного вычисления корней уравнений, содержащих цилиндрические функции, применяется метод последовательных приближений, причем за хорошее начальное приближение во многих случаях могут быть приняты корни уравнений, получающихся из исходных при замене цилиндрических функций их асимптотическими представлениями.

Пример

 

Решить дифференциальное уравнение:

Решение:

В данном уравнении сделаем замену

 где

Следовательно,

Подставим найденные производные в исходное уравнение, получим:

Умножим на :

Пусть , тогда получим:

Разделим на :

Исходя из общего вида уравнения Бесселя (1) следует, что .

Общее выражение цилиндрической функции для  на основании формулы (1.14) представляет линейную комбинацию построенных решений:

           

где  и  – произвольные постоянные.

Таким образом, решение исходного уравнения имеет вид:

.

Заключение

В данной курсовой работе были изучены функции Бесселя (уравнение Бесселя и модифицированное уравнение Бесселя), основные свойства вышеуказанных функций и решено дифференциальное уравнение с использованием функций Бесселя.

 

Список литературы

1. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения (2-е изд.). – М.-Л.: ГИФМЛ, 1963г. – 359с.

2. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа, учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1983г. – 336с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. – М.: Наука, 1966г. – 296с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления, учебное пособие для вузов. – М.: Наука, 1985г. – 560с.

5. G.N. Watson A treatise on the theory of Bessel functions. 1945. (Имеется перевод: Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций: Пер. со 2-го англ.изд. / Авт.предисл. В.С. Берман. – М.: ИЛ, 1949г. – 798с.)

6. Сабитов К.В. Функциональные, дифференциальные и интегральные уравнения. – М.: Высшая школа, 2005г. – 671с.

7. Кузнецов Д.С. Специальные функции. – М.: Высшая школа, 1962г. – 249с.

8. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т.2. – М.: ИЛ, 1960г. – 897с.

9. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. – М.: Наука, 1971г. – 287с.

10. Кузьмин Р.О. Бесселевы функции. – Л.-М.: ГТТИ, 1933г. – 152с.