Классы абелевых алгебр и их свойства

 

Как уже было отмечено в параграфе 3, алгебра  называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций

 

 

называемый центральным, что

 

 

для любого .

Определение 4.1. В случае, если для нильпотентной алгебры  в центральном ряде , то есть если для нее , то алгебра  называется, абелевой.

Лемма 4.1. Любая подалгебра абелевой алгебры абелева.

Доказательство:

Пусть  подалгебра абелевой алгебры .

Так как по определению , то на  существует такая конгруэнция , что:

1) из

 

 

всегда следует

 

 

2) для любого элемента

 

всегда выполняется

 

 

3) если

 

 

то

Рассмотрим конгруэнцию

 

 

Действительно, если

 

 

для , то

 

 

и для любой -арной опеации  имеем

 

 

Но поскольку  подалгебра алгебры , получаем

 

Значит,  подалгебра алгебры .

Очевидно, что для любого элемента  имеет место

 

 

Таким образом,  конгруэнция ня алгебре .

Пусть

 

 

тогда

 

 

то  Если , то

 

 

и, значит,

 

 

т.е.

 

 

Пусть, наконец,

 

Тогда

 

 

и значит .

Итак, конгруэнция  удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 4.2. Фактор-алгебра абелевой алгебры абелева.

Доказательство:

Пусть алгебра  – абелева, то есть . Покажем, что для любой конгруэнции  на  выполняется

 

 

Пусть  – конгруэнция на алгебре , удовлетворяющая определению 2.1.

Определим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:

 

 

тогда и только тогда, когда найдуться такие элементы , , , , что

 

и

 

 

Непосредственной проверкой убеждаемся, что  – конгруэнция на алгебре .

Таким образом осталось показать, что  удовлетворяет определению 2.1. Пусть

 

 

тогда

 

 

Пусть

 

 

Тогда , и по определению 2.1

 

 

При этом  и . Согласно нашим обозначениям получаем, что

 

 

Пусть

 

Тогда найдутся , что

 

 

и

 

 

При этом

 

 

Следовательно,

 

 

Но тогда по определению 3.1. . А так как , то

 

 

Теперь из того, что

 

следует, что

 

 

Лемма доказана.

Лемма 4.3. Прямое произведение конечного числа абелевых алгебр абелево.

Доказательство:

Очевидно, достаточно показать, что если ,  и  – абелевы алгебры, то  – абелева алгебра.

Пусть  и . Это означает, что на алгебрах  и  заданы cоответсвенно конгруэнции  и  удовлетворяющие определению 2.1.

Определим бинарное отношение  на алгебре  следующим образом:

 

 

тогда и только тогда, когда

 

 

и

 

 

Непосредственной проверкой убеждаемся, что  – конгруэнция на алгебре .

Таким образом осталось показать, что  удовлетворяет определению 2.1.

Пусть

 

 

тогда

 

 

Пусть . Это означает, что  и . Но тогда

 

 

и

 

 

Следовательно,

 

 

Пусть

 

 

тогда

 

и

 

 

Это означает, что  и . Таким образом

 

 

Лемма доказана.

Результаты, полученные в леммах 4.1, 4.2, 4.3 можно теперь сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 8 Класс всех абелевых алгебр мальцевского многообразия является наследственной формацией.

Пусть  – конгруэнция на алгебре .  – подалгебра алгебры ,  и . Тогда введем новое обозначение

 

Лемма 4.4. Пусть определено множество . Тогда  – конгруэнция на ,

 

 

Доказательство:

Так как , то для любого элемента  всегда найдется такой элемент , что . Следовательно,

 

где .

Таким образом .

Пусть теперь , . Тогда

 

 

где . Следовательно, для любой -арной операции  получаем

 

 

Теперь, поскольку , то по лемме 3.2  – конгруэнция на .

Пусть . Тогда, очевидно,

 

 

т.е. . Так как

 

 

то

 

 

Покажем теперь, что . Допустим противное. Тогда найдется такая пара , что  и . Из определения  следует, что существует такая пара , что

 

Так как

 

 

то применяя мальцевский оператор  получаем

 

 

Из леммы 2.2. теперь следует, что .

Итак, . Лемма доказана.

Подалгебра  алгебры  называется нормальной в , если  является смежным классом по некоторой конгруэнции алгебры .

Лемма 4.5. Любая подалгебра абелевой алгебры является нормальной.

Доказательство:

Пусть  – подалгебра абелевой алгебры . Так как , то по лемме 4.4. на  существует такая конгруэнция , что

 

 

Лемма доказана.

 

Заключение

Таким образом, в данной работе мы подробно с доказательствами на основании результатов работ [3] и [4] изложили теорию централизаторов конгруэнции универсальных алгебр и рассматрели формационные свойства нильпотентных алгебр работы[2], на основании результатов 3 ввели понятие абелевой алгебры. Используя методы исследования работы [1] доказали следующий основной результат: класс всех универсальных абелевых алгебр из мальцевского многообразия образует наследственную формацию.

 

 

Список литературы

 

Скорняков, Л.А., Элементы общей алгебры. – М.: Наука, 1983. – 272 с.

Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. – М.: Наука, 1989. – 256 с.

Smith J.D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.

Русаков С.А., Алгебраические -арные системы. Минск, 1987. – 120 с.

Кон П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.–351 с.

Ходалевич А.Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр // Вопросы алгебры. – 1996.–Вып.10 с. 144–152

Ходалевич А.Д. Формационные свойства нильпотентных алгебр // Вопросы алгебры. – 1992. – Вып.7.–с. 76–85

Ходалевич А.Д. Прикладная алгебра // Лекции по спецкурсу «Универсальные алгебры». Ч1.–Гомель. 2002. – с. 35.