Электромагнитная теория и полевой эффект

 

Если рассматривать уравнения Максвелла в дифференциальной форме при соответствующих граничных условиях, то физический механизм полевого эффекта на поверхности полупроводника становится понятным. Одно из важнейших уравнений электромагнитной теории записывается как ε

 

 

Div D=div(εE)=ρ (40)

 

где D – вектор электрического смещения; ε – диэлектрическая проницаемость материала; Е – напряженность электрического поля; ρ – объемная плотность электрического заряда.

Таким образом, дивергенция вектора электрического смещения равна объемной плотности заряда. Этот закон будет соблюдаться в любой точке объема исследуемого материала. Однако па границе раздела двух разнородных материалов или на поверхности исследуемого полупроводника возникает электрический заряд. Тогда в этом месте электрическое поле претерпевает разрыв, величину которого можно вычислить, исходя из определенных граничных условий. Из рис. 15 видно, что на границе раздела между двумя областями 1 и 2 существует поверхностный заряд. Плотность поверхностного заряда равняется величине разрыва вектора электрического смещения, перпендикулярного к поверхности пластины. Если σ есть плотность поверхностного заряда на единицу площади на границе раздела, a n — единичный вектор, направленный перпендикулярно к границе раздела в сторону области 2, то граничным условием будет

 

(ε₁E₁ – ε₂E₂)n = σ. (41)

 

Условия, аналогичные изображенным на рис., существуют в МДП-транзисторах на границе раздела кремний — двуокись кремния. Рассмотрим транзистор с каналом n-типа, на затвор которого подано положительное напряжение, а между истоком и стоком смещение отсутствует. Вследствие большого различия удельных сопротивлений обоих материалов падение напряжения на участке между затвором и подложкой происходит полностью в слое окисла, и практически во всех случаях электрическое поле в кремнии будет отсутствовать.

Учитывая граничные условия, получим

 

[ε_SiO2E – ε_Si(0)]n = σ (42)

 

Где E и n имеют прямо противоположные направления, а произведение в скобках – отрицательный знак. Следовательно,

 

σ = – ε_SiO2E. (43)

При подаче за затвор МДП-транзистора положительного смещения происходит электростатическое притягивание отрицательных зарядов, и параллельно поверхности кремния образуется отрицательно заряженный слой. Таким образом, между истоком и стоком появляется токопроводящий канал n-типа. Если между затвором и подложкой приложено отрицательное напряжение, то вектор напряженности электрического поля в диэлектрике имеет противоположное направление.

 

 

При этом у поверхности кремния должен образоваться положительно заряженный слой, или канал с проводимостью n-типа. Тем самым граничные условия были бы полностью соблюдены.

Можно считать, что эффект поля на поверхности полупроводников является прямым следствием фундаментальных законов электромагнитной теории.

 

Статистика Ферми

 

Для нахождения концентрации основных и неосновных носителей в кристаллической решетке полупроводника в состоянии равновесия применяется статистика Ферми.

Электронная проводимость в полупроводниковых материалах создается за счет переноса носителей, находящихся в зоне проводимости и валентной зоне. В действительности эти зоны представляют собой спектр энергетических состояний, в которых электрон может находиться при перемещении в кристаллической решетке. Зона проводимости имеет более высокий энергетический уровень, чем валентная зона, и поэтому при данной температуре является менее заполненной. Зоны разделяются энергетическим промежутком, называемым запрещенной зоной.

При нормальных условиях электрон, находящийся в кристаллической решетке, не может занимать энергетические уровни, расположенные в запрещенной зоне. Энергетический промежуток между самым высоким разрешенным состоянием в валентной зоне и самым низким разрешенным состоянием в зоне проводимости называется шириной запрещенной зоны. Для разных полупроводниковых материалов она имеет разное значение.

Упрощенная модель распределения электронов по энергетическим состояниям в зоне проводимости и в валентной зоне показана на рисунке 17 Обычно экстремумы двух зон в импульсном пространстве смещены относительно друг друга. Исключением составляют проводники с прямыми переходами.

Электроны, заполняющие состояния в зоне проводимости, и дырки при приложении внешнего электрического поля свободно перемещаются, вызывая прохождение тока. Оба типа носителей присутствуют одновременно во всех полупроводниках. Применяя статистику Ферми, можно вычислить равновесные концентрации как основных, так и не основных носителей, находящихся в кристаллической решетке.

 

Рисунок 17.Зонная структура полупроводника с прямыми переходами.

 

Функцию распределения Ферми записывают как

 

f (E)=1/1+exp[(E-)/kt]. (44)

 

Функция Ферми определяет вероятность того, что данное состояние с энергией Е занято электроном. Величина E_F, называемая энергией или уровнем Ферми. Уровень Ферми характеризует связь объемных свойств полупроводникового материала с вакуумом и является постоянным. Если известная зависимость плотности состояний в зоне проводимости и валентной зоне от энергии, то положение уровня Ферми даст возможность определить количество электронов, находящихся в данных энергетических состояниях, и количество вакантных состояний.

 

Рисунок 18.Поведение функции Ферми при изменении температуры.

 

Интегрирование в пределах обеих зон даст концентрацию электронов в зоне проводимости и концентрацию дырок в валентной зоне полупроводника. Поведение функции Ферми при изменении температуры показано на рисунке 18.

Из рисунка 18 следует, что уровень Ферми обычно лежит в запрещенной зоне между валентной зоной и зоной проводимости. При легировании кремния атомами примеси, имеющей пять валентных (кремний имеет четыре валентных электрона), в зоне проводимости кремния появляется лишний электрон. Материал приобретает проводимость n- типа, и уровень Ферми перемещается в сторону самого нижнего энергетического уровня зоны проводимости E_C. Этот тип примесей называется донорным. Аналогичным образом, когда вводится примесь, атомы которой имеют только три валентных электрона (акцепторы), они ионизируются электронами валентной зоны, и появляются дырки. Полупроводник приобретает проводимость p – типа, и уровень Ферми сдвигается в сторону энергетического потолка валентной зоны Е_V.

После интегрирования по энергетическим уровням обеих зон получаем следующие выражения:

 

n = N_Cexp[-(E_C-E_F)/kT] (45)

p = N_Vexp[-(E_F-E_V)/kT], (46)

где N_C и N_V – соответственно плотности состояний в зоне проводимости и валентной зоне.

Перемножив, левые и правые части (45) и (46), получим произведение концентраций неосновных и основных носителей тока для одного и того же материала. Величина этого произведения не зависит от положения уровня Фермии, следовательно, от концентрации легирующей примеси:

 

np= N_CN_Vexp (E_V- E_C)/ kT =N_CN_Vexp(-∆E/kT), (47)

где N_CN_Vexp(-∆E/kT)

 

представляет собой постоянную, которая зависит от температуры и обычно обозначается как n²_i (квадрат концентрации собственных носителей в чистом материале). Таким образом,

 

np= n²_i. (48)

 

Следовательно, концентрация собственных носителей равна

 

 (49)

 

Если энергию Е_V принять за исходный уровень, то есть положить её равной нулю, то энергия Ферми выразится произведением отрицательного заряда электрона на соответствующий потенциал Ферми

 

E_F= - eφ_F [эв]. (50)

 

Считая, что середина запрещенной зоны соответствует собственному потенциалу ψ, для которого

 

½ ∆E= - e ψ [эв], (51)

определим концентрацию подвижных носителей в материале

 

n= n_i expe[(ψ-φ_E)/kT], (52)

p=n_iexpe[(φ_E-ψ)/kT]. (53)

 

При комнатной температуре в случае кремния n – типа все донорные примеси ионизированы, и концентрация электронов в зоне проводимости будет приблизительно равна концентрации легирующей донорной примеси

 

n_n≈N_Д. (54)

 

Подставляя (48) в (50), получаем концентрацию неосновных дырок

 

p_n≈n²_i/N_Д. (55)

 

Аналогично можно предположить, что в кремнии p – типа при комнатной температуре все акцепторные примеси ионизированы, и концентрация будет дырок приблизительно соответствовать концентрации легирующей примеси N_a, то есть

 

p_p≈N_a. (56)

 

Снова используя равенство (44), получаем концентрацию неосновных электронов

 

n_p≈n_i²/N_a. (57)

 

Из сказанного можно сделать вывод, что если в приповерхностной области полупроводника середина запрещенной зоны Е_i располагается ниже уровня Ферми, концентрации n> n_i> n,то полупроводник в этой области обладает электропроводностью n- типа. В области, в которой середина запрещенной зоны Е_i располагается выше уровня Ферми, концентрации p>n_i>n,то полупроводник в этой области имеет электропроводность p – типа. В области, в которой уровень Ферми и середина запрещенной зоны Е_i совпадают, концентрации n=p=n_i, то полупроводник ведет себя как собственный.