Методы решения неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений

1) Для решения неоднородных линейных систем применяются методы, аналогичные методам, используемым для решения неоднородных линейных уравнений. Одним из таких методов является метод вариации постоянных. Продемонстрируем его суть на следующем примере.

 

Пример:

 

Решение. Решая характеристическое уравнение

 

 

Находим корни λ₁=-1, λ₂=4. Собственными векторами, отвечающими найденным собственным значениям, будут соответственно

 

 

Следовательно, общее решение соответствующей однородной системы имеет вид

 

.

 

Решение неоднородного уравнения в соответствии с методом вариации постоянной будем искать в форме

 

 

Для нахождения С₁(x) и C₂(x) подставив выражение для Y в исходную систему, получим

 

 

Отсюда находим:

 

 

где  - производные постоянные. Таким образом, решение исходной системы будет

 

 

2) В случае, когда столбец свободных членов системы имеет специальный вид

 

      (24)

 

Где P_m(x) и Q_k(x) – вектор-столбцы, элементами которых являются многочлены от х степени, не превышающей соответственно n и k, для отыскания частного решения уравнения целесообразно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Для систем он имеет определенную специфику. Суть метода такова.

Если число γ = a + bi не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде 

 

 

где и - вектор-столбцы, элементами которых являются многочлены от x степени m=max{k,n}.

Если же γ является корнем характеристического уравнения кратности l (резонансный случай), то частное решение ищется в форме

 

[ 3 стр 529-531]

 

 

Решение линейных систем дифференциальных уравнений.

Решение методом сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка.

Решение однородных линейных систем дифференциальных уравнений.