Метод сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка

Содержание

ВВедение

Системы линейных дифференциальных уравнений.

1.1 Общие сведения о линейных системах.

1.2 Метод сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка.

1.3 Методы решения однородных линейных систем дифференциальных уравнений.

1.4 Методы решения неоднородных линейных систем дифференциальных уравнений.

2. Решение линейных систем дифференциальных уравнений.

2.1.Решение методом сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка.

2.2. Решение однородных линейных систем дифференциальных уравнений.

2.2.1. Решение видоизмененным методом Эйлера

2.3.2. Решение методом неопределенных коэффициентов

 

ВВЕдение

Системы линейных дифференциальных уравнений.

Общие сведения о линейных системах.

Линейные системы – это системы дифференциальных уравнений вида

 

        (1)

 

Где коэффициенты a_ij   и f_i – некоторые функции независимой переменной x. Будем считать их непрерывными; тогда для данной системы заведомо выполняются условия теоремы о существование и единственности решения задачи Коши. Если все f_i =0, то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной. Система

 

   (2)    

 

Называется однородной системой, соответствующей неоднородной системе (1).

При изучении линейных систем удобно использовать матричные обозначения

 

 

Позволяющие записать систему (1) в виде одного матричного уравнения

 

(3)

 

Так же, как и в случае линейных уравнений, общее решение неоднородной системы представляет собой сумму частного решения этой системы и общего решения соответствующей ей однородной системы. В свою очередь, общее решение однородной системы имеет вид

 

(4)

 

Где С₁,…,С_n- произвольные постоянные, а

 

 

-произвольные линейно независимые решения, называемые фундаментальным набором решений этой системы. Критерием линейной независимости этих решений является неравенство нулю определителя Вронского

 

          (5)

 

Метод сведения линейной системы к одному уравнению более высокого порядка.

(Этот метод применим как для однородной, так и для неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений.)

Один из методов интегрирования линейной системы заключается в сведении системы к одному уравнению n-ого порядка с одной неизвестной функцией. Продемонстрируем это на примере системы двух уравнений.

 

                  (6)

 

Дифференцируя (по x) обе части первого уравнения системы (6), находим

 

 

откуда, заменяя производные y₁', y₂' их выражениями из самой системы, имеем

 

.

 

Группируя в правой части, получим уравнение вида

 

               (7)

 

Где коэффициенты b₁, b₂ и d₁ определенным образом выражаются через коэффициенты a_ij  и q₁ и их производные. Комбинируя уравнение (7) с первым уравнением системы (6), получим

 

    (8)    

 

Предположим, что в рассматриваемой области изменения  x определитель

 

отличен от нуля. Тогда систему (8) можно решить относительно y₁ и y₂, т.е. выразить y₁и y₂ через y’₁ и y”₂.

В результате приходим к уравнениям вида 

 

(9)

 

 . (10)

 

Первое из них представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией y₁(t). Заметим, что если в исходной системе (6) все коэффициенты a_ij постоянны, то уравнение (9) также является уравнением с постоянными коэффициентами. [ 3 стр 509-510]