Потенциальное (безвихревое) поле

Если во всех точках поля ротор равен нулю, то поле называется безвихревым или потенциальным. Из равенства rotA(P)=0 вытекает, что

 

Эти равенства представляют условие того, что выражение

 

A_xdx+A_ydy+A_zdz

 

является полным дифференциалом некоторой функции u (x, y, z).

При этом

 

 

Это значит, что вектор А(Р) потенциального поля является градиентом скалярного поля: A(P)=grad u.

Функция u называется потенциальной функцией векторного поля или, коротко, потенциалом. Потенциал определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого.

Из формулы rot grad u=0 следует обратное утверждение:

Поле градиента любой функции u (x, y, z) является потенциальным, а сама функция u - его потенциалом.

В потенциальном поле циркуляция по любому контуру равна нулю. При этом предполагается, что контур L можно заключить односвязную область, во всех точках которой функции A_x, A_y, A_z и их производные непрерывны. С точки зрения течения жидкости равенство нулю циркуляции означает, что в потоке нет замкнутых струек жидкости, то есть нет водоворотов.

Работа в силовом потенциальном поле равна разности потенциалов в конечной и начальной точках линии L, то есть

 

 

Изучение потенциального поля значительно облегчается тем, что это поле вполне определяется заданием одной скалярной функции - его потенциала. Проекции векторного поля А(Р) будут при этом частными производными этой функции по соответствующим координатам. Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных функций - проекций вектора на оси координат.

 

Гармоническое поле

Векторное поле, являющееся одновременно и потенциальным и трубчатым, называется гармоническим. Поскольку поле потенциально, его можно записать в виде

 

A(P)=grad u,

 

где u - потенциал поля. Условие трубчатости поля означает, что

div A(P)=div grad u=0.

Согласно формуле, что

 

 

Функции u, подчиняющиеся этому условию, называются гармоническими.