Глава 2. Движение тел

Вращение тел

Тело, в отличие от частицы, имеет видимые размеры. Поэтому его вращением пренебрегать нельзя. Вращение придаёт телу энергию, дополнительную к энергии поступательного движения. Эта энергия была получена от внешнего источника, закрутившего тело вокруг оси. Возьмём, к примеру, особое вращение бумеранга. Его не объяснить вторым законом Ньютона, который описывает поступательное движение тел (без вращения).

Если в качестве тела отсчета (см. § 10) взять вращающееся тело, например, карусель с подвесными люльками, в уравнении второго закона Ньютона придется ввести дополнительную силу, отвечающую за отклонение подвеса люлек от вертикали. Известны попытки, когда некоторые авторы пытались использовать эту «даровую» центробежную силу инерции в устройствах типа инерцоид. Разумеется, у них ничего не получалось. Система отсчёта, которая движется с ускорением, не является инерциальной. В такой системе возникают фиктивные силы вроде центробежной силы инерции, силы противодействия и т. п. Это происходит потому, что в неинерциальной системе отсчета не выполняются законы Ньютона. Следует подчеркнуть, что фиктивные силы существуют только на бумаге, работать они не могут. Представим на секунду, что в классическом опыте для демонстрации ускорения рабочий устал и убрал руки с тележки. Разве «сила противодействия» откатит тележку назад? Нет, тележка покатится дальше по инерции, согласно первому закону Ньютона.

Вращение имеет особое значение в технике, так как все машины имеют вращающиеся части. Уравнения, связывающие вращательную энергию тела с частотой вращения, помогают конструкторам подобрать наилучшее сочетание размеров и скоростей вращения деталей машин. Следует сказать, что существует соблазн принять за тело отсчёта вращающийся корпус машины. Ещё бы! При таком приёме уравнения движения будут иметь самый простой вид. Но выполняется ли при этом первый закон Ньютона? Разумеется, нет. Законы Ньютона верны относительно инерциальной системы отсчёта, которая должна перемещаться прямолинейно и равномерно. Но вращение не является прямолинейным движением. К примеру, если взять за тело отсчёта Землю, то возникает иллюзия вращения небесного свода вокруг неё. Можно сложить массы всех звёзд и умножить на квадрат скорости вращения небосвода. Получится колоссальная энергия! Жаль, что она существует только на бумаге. Стоит вылететь в открытый космос, как всё встаёт на свои места. Солнце и звёзды неподвижны, вращается сама Земля, а вечный источник даровой энергии остаётся бумажной фикцией. Таким образом, если использовать неинерциальную систему, в ней появляются фиктивные силы. С другой стороны, если этот математический прием поможет упростить расчеты, его, наверное, можно использовать, не забывая о фиктивности сил инерции. Базисом для нас по-прежнему будет энергия.

Движение по окружности

Простейшим видом вращения является движение тела по окружности с постоянной скоростью. Представим себе центрифугу для тренировки космонавтов. Она содержит кабинку, закрепленную на рычаге, который может вращаться в горизонтальной плоскости, сначала медленно, затем быстрее. Посадим космонавта в кабинку и запустим центрифугу. Мы увидим через телекамеру, что космонавта вдавила в кресло сила инерции (см. § 11). В системе отсчёта, связанной с центрифугой, эта сила направлена вдоль рычага по радиусу от центра вращения кабины. Её называют центробежной силой инерции Fцб. Эта сила считается силой противодействия. В примере с тележкой сила инерции противодействовала ускоряющей силе. Значит, при вращении центробежная сила противодействует какой-то ускоряющей силе, устремленной к центру вращения. Назовем её центростремительной силой Fцс. По определению, Fцс = Fцб (14.1). Очевидно, сила Fцс – это сила связи, которая удерживает кабинку на круговой орбите. Её источник – рычаг центрифуги, связанный с электромотором. Попробуем найти уравнение, связывающее силу Fцс со скоростью v кабинки при её вращении по окружности радиуса R. Применим, как обычно, наш энергетический подход: E = А = Fs (14.2).

Центростремительная сила Fцс характеризует работу А электромотора, который передает энергию Е через рычаг кабинке. Применяя уравнение (14.2) к вращению центрифуги, мы должны учесть, что сила Fцс зависит от радиуса вращения. Известно, что при вращении карусели центробежная сила в центре равна нулю, а на краю карусели она максимальна. Если путь s от центра до окружности равен R, значит, нужно взять среднее значение силы: F = Fцс/2. Подставляя данные в уравнение (14.2), получаем уравнение вращения: E = Fцс*R/2 (14.3). С другой стороны, Е = А= Рt, где Р – мощность электродвигателя. Работа электродвигателя преобразуется в кинетическую энергию кабинки Ек = mv2/2 (14.4). Очевидно, эти величины равны, так как одна переходит в другую: Е = Ек. Приравняем их: Fцс*R/2 = mv2/2. Решая относительно Fцс, получаем искомое уравнение: Fцс = mv2/R (14.5).

Из (14.5) легко получить формулу для центростремительного ускорения ацс. По второму закону: Fцс = mацс. Подставляя в (14.5), получаем: mацс = mv2/R. Отсюда: ацс = v2/R (14.6).