Определение 1. Будем говорить, что события образуют полную группу событий, если:
1. событие – достоверное;
2. события и – попарно несовместные .
Утверждение. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1
.
Пример. Студент на экзамене может получить одну из четырех оценок: «отлично», «хорошо», «удовлетворительно» и «неудовлетворительно». События – получил «отлично», – получил «хорошо», – получил «удовлетворительно», – получил «неудовлетворительно» – попарно несовместные и в сумме – событие достоверное, так как обязательно происходит одно из этих событий. Следовательно, события , , , образуют полную группу событий.
События и образуют полную группу событий. Следовательно, справедливо . Отсюда получаем .
Пример. Событие - стрелок попал в цель. Известна вероятность . Противоположное событие - стрелок не попал в цель.Тогда вероятность промаха .
Для нахождения вероятности события , которое может произойти при условии осуществления одного из несовместных событий , образующих полную группу, используется формула:
|
|
.
Эта формула называется формулой полной вероятности.
События называются гипотезами.
Пример. В урну, содержащую два шара, опущен зеленый шар. Найти вероятность того, что будет вытащен из урны зеленый шар, если равновероятны первоначальные представления о цвете шаров.
Решение. Событие – извлечен зеленый шар.
Возможны следующие гипотезы о первоначальном составе шаров:
– первоначально зеленых шаров не было в урне;
– был 1 зеленый шар;
– оба шара зеленые.
По условию задачи гипотезы равновероятны и образуют полную группу событий, следовательно, вероятность каждой из гипотез равна , то есть . Тогда условные вероятности наступления события при появлении каждой из гипотез будут соответственно равны:
.
Отсюда по формуле полной вероятности получаем:
,
Пусть событие может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу событий.
Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по следующей формуле:
,
где .
Эта формула называется формулой Байеса.
Пример. Два автомата производят одинаковые детали, поступающие на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй 84%. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь сделана первым автоматом.
Решение. Рассмотрим событие – деталь отличного качества.
Можно составить две гипотезы:
|
|
– деталь сделана первым автоматом, причем , так как его производительность вдвое больше производительности второго автомата;
– деталь сделана вторым автоматом, причем .
Условная вероятность появления события при выполнении гипотезы равна .
Условная вероятность появления события при выполнении гипотезы равна: .
Отсюда вероятность появления события (по формуле полной вероятности) равна:
.
Тогда вероятность того, что деталь отличного качества сделана первым автоматом, по формуле Байеса равна:
.
ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ
Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых событие может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события в каждом испытании одна и та же, а именно равна . Следовательно, вероятность непоявления события в каждом испытании также постоянна и равна .
Часто возникает задача: вычислить вероятность того, что при испытаниях событие наступит ровно раз.
Искомая вероятность обозначается .
Например, символ означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.
Поставленную задачу можно решить с помощью формулы Бернулли:
,
где
.
Вероятности того, что в испытаниях событие наступит: а) менее раз; б) более раз; в) не менее раз; г) не более раз находят соответственно по формулам:
a) ,
б) ,
в) ,
г) .
Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
Решение. Вероятность нормированного расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна . Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна .
Из условия задачи следует, что .
Искомая вероятность по формуле Бернулли равна:
.