Интегральная теорема Лапласа

Вновь предположим, что производится испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Как вычислить вероятность того, что событие появится в испытаниях не менее и не более раз (для краткости речи будем говорить «от до раз»)? На этот вопрос отвечает интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже.

Интегральная теорема Лапласа.

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, приближенно равна определенному интегралу:

где

и .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл , не выражается через элементарные функции. Таблица для функции приведена в приложении 2. В таблице даны значения функции для неотрицательных значений ; для значений пользуются той же таблицей, так как – функция нечетная: . В таблице приведены значения функции лишь до , так как для можно принять . Функцию часто называют функцией Лапласа.

Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100.

Решение. По условию

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

Таким образом, получаем:

так как .

По таблице приложения 2 находим:

Искомая вероятность:

ФОРМУЛА ПУАССОНА

Пусть производится независимых испытаний¸ в каждом из которых вероятность появления события равна . Для определения вероятности появлений события в испытаниях используют формулу Бернулли. Если же велико, то пользуются асимптотической локальной формулой Лапласа. Однако, эта формула непригодна, если вероятность события мала . В этих случаях ( велико, мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона.

Итак, поставим перед собой задачу найти вероятность того, что при очень большом числе испытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно раз.

Эта задачу можно решить с помощью формулы Пуассона:

где

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия.

Решение. По условию . Найдем значение :

Искомая вероятность по формуле Пуассона равна:

9. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Определение 1. Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, принимаемые с определенными вероятностями.

То есть, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (счетным).

Определение 2. Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможные значения , а вторая – вероятности .

			…
			…

В случае, когда множество значений дискретной случайной величины конечно, сумма вероятностей событий , равна единице:

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно (счетно), то закон распределения будет иметь следующий вид:

			…		…
			…		…

где ряд сходится и его сумма равна единице:

Закон распределения дискретной случайной величины может быть также задан аналитически

или с помощью функции распределения.

Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки

( – возможные значения случайной величины , – соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Пример 1. Дискретная случайная величина задана законом распределения:

	1	3	6	8
	0,2	0,1	0,4	0,3

Требуется построить многоугольник распределения.

Решение. Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения , а по оси ординат–соответствующие вероятности .

Построим точки и . Соединив эти точки отрезками, получим искомый многоугольник распределения.

Рис.1. Многоугольник распределения.

Пример 2. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.

Решение. Дискретная случайная величина (число отказавших элементов в одном опыте) имеет следующие возможные значения: (ни один из элементов устройства не отказал), (отказал один элемент), (отказали два элемента), (отказали три элемента).

Отказы элементов независимы один от другого, вероятности отказа каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли. Учитывая, что по условию (следовательно, ), получим: