2020-04-07
414
- В обыденной жизни нередко встречаются задачи, в которых есть несколько вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех таких вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными.
Приемы решения комбинаторных задач:
- перебор вариантов:
Пример 1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1; 3; 5; 7 при условии, что цифры не повторяются?
-правило сложения: если объект а можно выбрать m способами, а объект в – n способами, то выбор одного объекта «либо а, либо в» можно осуществить m+n способами.
Пример 2. На столе лежат 5 карандашей и 4 авторучки. Нужно срочно записать номер телефона. Сколькими способами можно выбрать либо карандаш либо ручку?
(Решение. Ручку можно выбрать 4 способами, а карандаш – пятью. Всего: 4+5=9)
- правило умножения (когда перебор большой): если объект а можно выбрать m способами, а объект в – n способами, то пару (а; в) можно выбрать m∙n способами.
Пример 3. На тарелке лежат 5 яблок, 4 апельсина и 3 груши. Сколькими способами можно выбрать тройку плодов, состоящую из яблока, апельсина и груши?
(Решение. 5∙ 4 ∙3=60 способов).
- перестановки: n различных элементов можно расставить по одному на n различных мест ровно n! способами.
Пример 4. К хозяину дома пришли гости А,В,С,Д. а) Сколькими способами можно рассадить гостей и хозяина на 5 разных стульев вокруг стола? б) Сколькими способами можно рассадить гостей и хозяина на 5 разных стульев вокруг стола, если место хозяина фиксировано?
(Решение. а) 5!=1∙2∙3∙4∙5=120 б) т.к. место хозяина фиксировано, то 4 гостей рассадить на 4 оставшихся стула: 4!=24 способа).
- сочетания: число выборов m элементов из n элементов без учета порядка называют числом сочетаний из m элементов по n и обозначают Сnm , находят по формуле: Сnm =n!/ m!(n-m)!
Например, из 27 учеников класса нужно выбрать трех дежурных.
(С273=27∙26∙ 25/1∙2∙3=2925).
Пример 5. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и Косолапый Мишка затеяли играть квартет». Мишке поручили выбрать 4 любых инструмента из имеющихся 11. Найти число всевозможных выборов инструментов.
(Решение. 11∙ 10 ∙3=330)
- размещения: число всех выборов m элементов из n данных с учетом их порядка называют числом размещений из n элементов по m и обозначают Аnm, находят по формуле: Аnm=n!/ (n – m)!
Пример 6. Из 27 учеников класса нужно выбрать трех человек: первый ученик решает у доски задачу; второй – идет за мелом; третий – пойдет дежурить в столовую. Сколькими способами это можно сделать?
(Решение. А273 = 27∙26∙25=17 550)
- Объяснение.
В жизни происходят многие явления, исход которых трудно предугадать. Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении. Такие законы изучает раздел математики – теория вероятностей.
Бывают события, которые могут произойти, а могут и не произойти. Такие события называются случайными. Например, А=«В этом году первый дождь пройдет в воскресенье» или В= «При бросании игрального кубика выпадет 6».
Есть такие события, которые в данных условиях произойти не могут – невозможные. Например, «При бросании кубика выпадет 7».
Если же событие при данных условиях обязательно произойдет, то оно называется достоверным. Например, «В Сибири зимой выпадает снег».
Случайные события могут быть более вероятными или менее вероятными. Например, А=«При бросании кубика выпадет четное число» - событие более вероятное, чем событие В=«При бросании кубика выпадет 6».
Так что же такое вероятность события?
Вероятностью события А называется отношение числа тех исходов, в которых наступает событие А, к общему числу всех возможных исходов.
Так, событие А имеет вероятность 3/6=0,5, а событие В – 1/6=0,1666….
Пример 1. Монета брошена два раза. Найдем вероятность того, что хотя бы один раз появится орел.
(Решение. Перебор вариантов: о-о,о-р,р-о,р-р, всего 4. Из них орел есть в 3-х. Вероятность ¾=0,75).
Пример 2. На экзамене по биологии 25 билетов. В трех из них есть вопросы, связанные с грибами. Какова вероятность того, что выбранный наугад билет содержит вопрос о грибах?
(Решение. 3/25=0,12).
Пример 3. Какова вероятность того, что случайно выбранное двузначное число делится на 11?
(Решение. Всего двузначных чисел 90, из них на 11 делятся 9.Вероятность 1/10).
Пример 4. В ящике содержится 100 деталей, из них 10 бракованных. Наугад извлечены 4 детали. Какова вероятность того, что среди извлеченных деталей нет бракованных.
(Решение. Всего: 4 детали из 100 можно извлечь количеством способов, равным сочетаниям из 100 по 4: 100!/4! 96!=97*49*33*25. Нет бракованных: из 90 годных по 4: сочетание равно: 90!/4!86!=87*11*89*30. Вероятность: 15 486/ 23 765 = 0,65 или 65%).
Пример 5. Вова вытянул наугад одну карту из колоды, состоящей из 36 карт. Маша предсказала, что это король. Гриша предсказал, что это карта пиковой масти. У кого больше шансов угадать? Какова вероятность каждого из предсказаний?
(Решение. Королей 4, вероятность1/9=0,111…. Пиковых карт 9, вероятность ¼=0,25.)
Пример 6. Из букв русского алфавита случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
(Решение. Букв 33, гласных 10, вероятность 10/33).
