2020-04-12
242
Пусть x (x1, x2,..., xn) и y (y1, y2,..., yn) – две точки n – мерного пространства. При практическом применении метода итерации удобно рассматривать систему линейных уравнений в пространстве с одной из следующих метрик:
Для того, чтобы отображение F, заданное в метрическом пространств уравнениями, было сжимающим отображением, достаточно выполнения одного из условий:
Пример. Решить систему методом простой итерации с точностью e = 10-4.
| 2,34x1- 4,21x2- 11,61x3 = 14,41 8,04x1 + 5,22x2+0,27x3 = -6,44 3,92x1 – 7,99x2 + 8,37x3 = 55,56 | Построим систему с преобладающими диагональными коэффициентами (для этого преобразуем систему следующим образом: 2-е уравнение поставим на 1-е место, 1-е уравнение – на 3-е место, сложим 1-е и 3-е уравнения и поставим на 2е место) |
| 8,04 x1 + 5,22x2+0,27x3 = -6,44 6,26x1 – 12,20 x2 - 3,24x3 = 69,97 2,34x1- 4,21x2- 11,61 x3 = 14,41 | Разделим каждое уравнение на его диагональный коэффициент и выразим из каждого уравнения диагональное неизвестное. |
| x1= -0,65x2 – 0,03x3 - 0,80 x2 = 0,51x1 - 0,27x3 - 5,74 x3 = 0,20x1 – 0,36x2 – 1,24 | Проверим условия сходимости (a, b, c): |
| a) | -0,65 | + |-0,03 | = 0,68 | 0,51 | + | -0,27 | = 0,78 | 0,20 | + | -0,36 | = 0,56 | Max = 0,78 α = 0,78 Метрика r1 (x, y) удовлетворяет условию сходимости. |
| b) | 0,51 | + | 0,20 | = 0,71 | -0,65 | + | -0,36 | = 1,01 | -0,03 | + | -0,27 | = 0,30 | Max = 1,01 > 1 Метрика r2 (x, y) не удовлетворяет условию сходимости. |
| c) 0,652 + 0,032 + 0,512 + 0,272 + + 0,202 + 0,362 = 0,93 < 1 | α = 0,93 Метрика r3 (x, y) удовлетворяет условию сходимости. |
По условию задачи точность вычислений не должна превышать 10-4, т.е. ε = 10-4. Тогда имеем:
|
|
|
r (x, x(k)) = ε.
Оценка расстояния имеет вид:
Замечание. Метод простой итерации удобен для программирования на ЭВМ, однако необходимость предварительного приведения системы к специальному виду затрудняет его практическое использование.
