Вычисление определителя

Численное решение системы имеет смысл в том случае, когда матрица системы невырожденная, т.е. когда ее определитель не равен 0.

Матрица называется треугольной, если все элементы выше (или ниже) главной диагонали равны 0. Тогда определитель данной матрицы равен D = a₁₁ · a₂₂ ·… · a_nn.

Любую матрицу можно привести к треугольному виду путем равносильных преобразований.

Пример. Вычислить определитель матрицы A:

Определитель матрицы равен D = 2×(-5)×1× 1× 6,5 = - 65.

Рассмотрим еще один вариант алгоритма вычисления определителя квадратной матрицы.

Пусть . Представим X в виде: X = Y × Z, где

Известно, что | X | = | Y | × | Z |. Но | Z | = 1, а | Y | = y₁₁ × y₂₂× … × y_nn. Тогда | X | = y₁₁ × y₂₂× … × y_nn. Достаточно получить коэффициенты матрицы Y, и вычислить определитель | X |. Вычислительные формулы для получения Y и Z можно получить, перемножив Y и Z:

Пример. Пусть X(3´3), Y(3´3), Z(3´3). Выполнить фактическое умножение матриц и доказать формулы вычисления Y и Z.

По правилу умножения матриц, каждая строка первой матрицы умножается на соответствующий столбец второй матрицы (поэлементно).

Имеем:

x₁₁ = y₁₁ × 1 + 0 × 0 + 0 × 0; x₁₂ = y₁₁ × z₁₂ + 0 × 1 + 0 × 0; x₁₃ = y₁₁ × z₁₃ + 0 × z₂₃ + 0 × 1;

x₂₁ = y₂₁ × 1 + y22 × 0 + 0 × 0; x₁₂ = y₁₁ × z₁₂ + 0 × 1 + 0 × 0; x₁₃ = y₁₁ × z₁₃ + 0 × z₂₃ + 0 × 1;