Система аксиом Вейля

Осн. абъекты - действ. числа, векторы, точки.

Осн. отношения – сложение векторов, умножение вектора на число, скалярное произведение, откладывание вектора от точки.

Аксиоматика Вейля содержит 15 аксиом. Все аксиомы образуют 5 груп аксиом: 4 аксиомы сложения вект., 4 акс. умнож. вект. на число, 2 акс. размерности, 3 акс. скалярного произведения, 2 акс. отклад. вектора от точки. V -векторы, E - точки.система акс. Вейля евкл. геом. непротиворечивава, когда непротив-ва теория действит. чисел.

Связь между сист. акс. Вейля и Гильберта.

С помощью сист. акс. Гильб. м. определить понятие вектора и ввести сложение векторов, умнож. вект. на число, скал. произведение и отклад. вект. от точки. При этом все акс. Вейля док-ся как теар. с точки  зрения системы акс. Гильб. Это зн., что каждая теор., док-ная по Вейлю, м.б. док-на по Гильб-ту. Наоборот, с пом. сист. акс. Вейля м. ввести панятие прямой, пл-ти, определить понятия лежат между, кангр-ть. При этом кажн. акс. Гильберта явл. теор. По Вейлю, поэтому кажн. теор. по Гильб-ту явл. теор. по Вейлю. Можно сказать в этом смысле, что аксиоматика Гильб. и Вейля эквивал-ные.

Любое понятие по Вейлю м. определить ч/з сист. акс. Гильб. и наоборот,т.как эти сист. аксиом эквивалентны.

Аксиома (Гильберт):

У Вейля: -кангруэнтность, когда

 

Док-во:    ().

Плоскость Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом планиметрии Лобачевского. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского.

Существуют разные современные системы аксиом евклидовой геометрии. Из них найболее близкие да аксиоматики Евклида - система аксиом Гильберта. Ею мы и будим пользоваться далее.

 Система аксиом Гильберта содержит 20 аксиом. последняя из них - аксиома параллельности, эквивалентная V постулату Евклида. Геометрия Лобачевского возникла при поптке доказать, что V постулат (а поэтому и аксиома параллельности) являетса не аксиомай, а теоремой.Рассуждая от противного и пробуя получить противоречие с помощью отрицания аксиомы параллельности Лобачевский пришол к выводу, что вместо этого поолучилась не протеворечивая геометрическая система, которую теперь называют геометрией Лобачевского. Эта новая геометрия м\б построена с помощью первых 19 аксиом Гильберта и аксиомы Лобачевского, которая эквивалентна отрицанию аксиомы параллельности.

Аксиома Лобачевского: Через каждую точку не принадл. даной прямой в плоскости, определенной этой точкой и этой прямой, праходят по меншей мере 2 прямыя, которые не пересекають данную.

Общая часть евклидовой геометрии и геометрии Лобачевского наз. обсалютной геометрией. Одним из важных фактов обсалютной геометрии является теорема Лежандра-Саккеры: Сумма углов каждого треугольника не может быть больше чем 2 прямых.

Рассмотрим плоскость Лобачевского. Можно доказать, что на ей чкрез каждую точкуне на прямой праходит бесконечно много прямых, которые не пересекают данную.

Пусть b-одна из бесконечного множества прямых, которые праходят через точку А и не пересекают прямую a. Обозначим через угол в радианах между b и перпендикуляром, опущеном из точки А на прямую a. Рассмотримим бесконечное множество таких . Очевидно, что - ограниченное снизу числовое множество и иеет нижнюю границу x₀. Пусть a' - прямая, которая праходит через А под углом к ​​перпендикуляру АВ. Можно доказать, что a' не пересекает прямую а и является граничной прямой между прямыми, которые пересекают а и прямыми, которые а не пересекают.

a’-параллельная прямая и по Лобачевскому. Прямая a” симметрична a’ относительно АВ, также параллельна а. Прямые b, которые не пересекают прямую а и не параллельны a’ наз. сверхпараллельными да а.

Описание взаимного расположения 2 параллельных прямых на плоскости Лобачевского дает следующую теорему. Теорема1: Расстояние от точки одной из параллельных до др.  неограниченно падает при перемещении точки в направлении параллельности, а при перемещении точки в противоположном направлении - неограниченно возрастает.(поэтому прямые рисуют кривыми).

 

Взаимное расположение сверхпараллельных прямых описывает тэарэма2: Каждые 2 сверхпараллельные прямые имеют общий перпендикуляр и при этом только 1. Расстояние от точки одной из сверхпараллельных к др. неограниченно возрастает при удалении этой точки от их общего перпендикуляра.

Лобачевский не смог строго доказать непротиворечивосць своей геометрии. Это удалось немецкому математику Феликсу Клейну, когда в 1871 он построил с помощью проективной геометрии модель плоскости Лобачевского. Из  существ.  такой модели следует, что геометрия Лобачевского непротиворечива, когда непротиворечива проективная геометрия. (Последнее сомнений не вызывает). Опишем модель Клейна плоскости Лобачевского.

 

Пусть Ф-окружность евклидовой плоскости R₂, которая рассматривается как часть проективной плоскости. Обозначим через М множество всех точек R₂, которые находятся внутри Ф. пусть G-множество всех проективных преобразований, которые сохраняют

 Ф: . Когда ΨєG, тоΨ(М)=М. Т.ч.G можно рассматривать, как группу преобразований множество М. При этом на М возникает некоторая G-геометрия, изучающая свойства фигур множества М, такие, что они сохраняются при всех преобразованиях ΨєG. Эта G-геометрия и есть планиметрия Лобачевского. При этом под «точкой» понимают каждую точку множества М, под «прямой» - каждую хорду без концов. Отношения  «принадлежности» и «между» понимаются обычным образом. Два отрезка или 2 угла считаются «кангруэнтными», когда один из них переводится в другой некоторым преобразованием ΨєG.

В модели Клейна выполняются все модели Гильберта, кроме аксиомы параллельности. На рис. хорошо видно, что через А проходит бесконечно много «прямых», которые не пересекают «прямую» а. При этом прямые a' и a'' параллельны прямой а по Лобачевскому, а «прямая» b сверхпараллельна к «прямой» а.

Т.о., в модели Клейна выполняются все аксиомы плоскасти Лобачевского. Это доказывает, что аксиома параллельности не представляется теоремой, т.е. не следует из оставшихся аксиом Гильберта. Тем самым поучается решение проблемы V постулата Евклида.

 

14. Гладкая линия класса С^к. Трехгранник Френэ. Формулы Френэ. Опред кривизны i вращения кривой в точке.

(пункт отождествляется с его радиусом-вектором, tє[a,b]→r^→(t)-вектор-функция)

(Опр1: Каждое отображение вида [a,b]→V, где V-множество векторов пространства наз. вектор-функцией одного скалярного аргумента.)

 [a,b]э t→M(t)параметризованная кривая

 t→M(t)→OM^→(t)= r^→(t)

t→ r^→(t)= OM^→(t) →M(t)

M(t)↔ r^→(t)

M(x(t),y(t),z(t))≡ r^→(t)=x(t)i^→+y(t)j^→+z(t)k^→ это гаворыт, что параметриз. кривая и вектор-ф-ция одно и то же.

Опр.: Под параметриз. кривой в пространстве будем понимать произвольную вектор-ф-цию одного скалярного аргумента. M(t)≡r^→(t)

Опр.: Кривая r^→(t) наз. гладкой, когда она имеет нужное количество производных. r^→’(t), r^→”(t).... Опр.: Гладкая кривая наз. регулярной, когда r^→’(t)≠0^→.

Утв1. Пусть r^→(t)- регулярная кривая, tє[a,b], тогда ее длину м. найсти по формуле

.

Утв 2. Каждая регул. крывая дапускает натур.параметризацию.

Док-во:

 

 

Проверим регулярность .

Производная вектор-ф-ции по натур. параметру б\ обазнач.точкой

Утв 3 Для кажонаго значения натур. параметра длина вектора =1

Док-во: Из утв.1следует

 

 

Утв 4 При каждом значении натур. параметра

Док-во:

 

 

            

 конец

 

Б\считать, что

 - образовыют сопроводительный базис Френэ

 

 

Формулы Френэ

 

K (s)-кривизна (х-е Степень отклонения нашей кривой от прямой в окрестности точки)

χ (s)-кручение (х-е степень отклонения регулярной кривой от плоскости в окрестности точки)

Теорема Сэррэ: Пусть на [a,b] определены 2-е непрерывные ф-ции k(s), χ(s) причем k(s)>0, для каждого s из [a,b], тогда сущ. регул. кривая r^→(s), для которой k(s)-крывизна, χ(s)-кручение. Эта кривая определена с точностью до расположения в пространстве.

Векторы образуют ортонормированный базис трёхмерного векторного пространства.

Пусть дана гладкая кривая γ класса С^k (к>=3), заданная ур-ями

Рассм на данной кривой т. M₀ (t₀), (М₀(x₀ ,y₀ ,z₀)), где - направляющий вектор касательной.

Пл-ть, определённая т. М₀ и векторами ,  наз соприкасающейся плоскостью. Пр, проходящая ч/з т. М_о, лежащая в соприкасающейся   пл-ти и перп-ная касател, наз главной нормалью. Прямая, проходящая через точку Мо перп-но соприкасающейся пл-ти наз бинормалью. Пл-ть, образ. бинормалью и славной нормалью наз нормальной. Пл-ть, образ. касател. и бинормалью наз спрямляющей.

Три данных прямых (касательная, главная нормаль и бинормаль) и три плоскости (соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая) образ естественный трёхгранник Френе.

Запишем уравнения граней и рёбер естественного трёхгранника, построенного в заданной точке M(to).

Сост ур соприкасающейся пл-ти по точке и направл подпр-ву:

Составим урав нормальной плоскости по точке и нормальному вектору:

Составим уравн бинормали. Для этого найдём её направляющий вектор. Им будет являться векторное произведение векторов . Тогда урав бинормали имеет вид:

Направляющим вектором главной нормали будет служить вектор: .

Затем используем канонические уравнения прямой в пространстве и получаем:

Уравнение спрямляющей плоскости можно составить по точке М₀ и векторам, образующим направляющее подпространство:

Выберем на каждой из указанных пр. естественного трёхгранника ед. векторы. Если т. М перемещается вдоль линии γ, то перемещ. и репер, кот. часто наз. подвижным репером. Для того чтобы получить ед. векторы этого репера, нужно направл. векторы касательной, главной нормали и бинормали сделать ед-ными. Т.обр., получ тройку ортонормированных векторов:

- единичный вектор касательной, - единичный вектор бинормали,   - единичный вектор главной нормали.