2020-04-12
122
Нехай при вивченні деякого явища виявилось, що існує функціональна залежність між змінними величинами 
. Функція 
залишається нам невідомою, але внаслідок експерименту встановлено значення цієї функції 
при відповідних значеннях аргументу 
.
Задача полягає в тому, щоб знайти просту функцію, наприклад многочлен, який наближено зображував би функцію .
Сформулюємо цю задачу точніше.
Нехай на відрізку 
задані значення функції в точках 
Треба знайти многочлен n-го степеня
, (1)
значення якого в точках збігаються із значеннями функції 
, тобто 
Ця задача називається задачею інтерполяції, многочлен (1) – інтерполяційним многочленом, а точки - вузлами інтерполяції. Вважаючи інтерполяційний многочлен 
наближеним аналітичним виразом для функції , тобто 
, можемо знаходити наближені значення функції в точках 
, що лежать між вузлами.
Можна показати, що задача інтерполяції має єдиний розв’язок, причому інтерполяційний многочлен має вигляд:
|
|
|
(2)
Формула (2) називається інтерполяційним многочленом Лагранжа.
Зауваження. У випадку лінійної інтерполяції припускаємо, що графіком функції буде пряма, звідси випливає приріст функції пропорційний приросту аргументу. Якщо задане значення аргументу х знаходиться між наведеними в таблиці
х0 і х1, х1 = х0 + h i y0 = f(x0), y1 = f(x0) + Δf, тоді вважають, що
f(x) ≈ f(x0) + 
∆f.
Приклад:
| х | 2 | 2,04 |
| у | 2,42 | 2,88 |
х0 = 2, х1 = 2,04, х ≈ 2,008, h = x1 – x0
y0 = 2.42, y1 = 2.88
f(x) =2,42 + 
× (2,88 – 2,42) ≈ 2,512
Якщо n = 2, то:
– формула квадратичного інтерполювання.
Приклад.
| х | 0 | 2 |
| f(x) | 1 | 4 |
Якщо n = 1, то:
формула лінійного інтерполювання.
L1(x) = 
× 1 + 
× 4 = 
+ 2x = 
= 
= 1,5x + 1.
Приклад.
| х | 0 | 1 | 2 |
| у | 2 | 1 | -3 |
n = 2
L2(x) = 
× 2 + 
× 1 + 
× (-3) =
= 
× 2 + 
+ 
× (-3) = x2 – 3x + 2 – x2 + 2x – 1,5x2 + 1,5x = -1,5x2 + 0,5x + 2.
