Розглянемо систему з п п- вимірних векторів (1).
Означення: Вектори називаються лінійно незалежними, якщо рівність (2) виконується лише при умові, що (3).
Якщо рівність (2) досягається тільки тоді, коли коефіцієнти не перетворюються одночасно в нуль, то вектори називаються лінійно залежними.
Якщо один з векторів нульовий, то ці вектори лінійно залежні, оскільки коефіцієнт при векторі може бути взятим ненульовим.
У одновимірному векторному просторі , тобто на прямій, будь-який ненульовий вектор є лінійно незалежним, а будь-які два вектори вже лінійно залежні.
Наведемо без доведення такі властивості поняття лінійної залежності:
1. якщо серед векторів (1) є нульовий, то ці вектори лінійно залежні;
2. якщо вектори (1) лінійно залежні, то після додавання до них одного чи кількох нових векторів, дістанемо лінійно залежну систему векторів;
3. якщо вектори (1) лінійно незалежні, то після відкидання одного чи кількох векторів, дістанемо знову лінійно незалежні вектори;
4. вектори (1) лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли один з них є лінійною комбінацією інших;
|
|
5. якщо два ненульові двовимірні вектори лінійно залежні, то вони колінеарні і навпаки;
6. якщо три ненульові тривимірні вектори лінійно залежні, то вони компланарні і навпаки;
7. чотири (і більше) тривимірних вектори завжди лінійно залежні.
Поняття лінійної залежності має досить глибокий зміст і широко використовується в математиці. Не вдаючись до подробиць, наведемо такі застосування цього поняття.
· Всяка упорядкована сукупність лінійно незалежних векторів, через які лінійно виражається довільний вектор простору, називається базисом цього простору.
· Максимальне число лінійно незалежних векторів деякого простору називається його розмірністю. Розмірність простору дорівнює числу базисних векторів цього простору. Відповідно до цього означення пряму лінію розглядають як одновимірний простір з одним базисним вектором; площина – це двовимірний простір , базис якого містить два вектори і тому подібне.
Якщо вектори складають базис і вектор розкладений за цим базисом, тобто , то числа називаються координатами вектора в даному базисі. Кажуть також, що вектор лінійно виражається через вектори або є їх лінійною комбінацією.
Теорема. Кожен вектор, паралельний якій-небудь прямій, можна розкласти за базисом на цій прямій.
Кожен вектор, паралельний якій-небудь площині, можна розкласти за базисом на цій площині.
Кожен вектор, можна розкласти за базисом у просторі.
Координати вектора у кожному випадку визначаються однозначно.
Розглянемо геометричний зміст цієї теореми.
|
|
Перше твердження теореми означає, що для довільного вектора , колінеарного ненульовому вектору , знайдеться таке число , що . Очевидно, що , якщо вектори і однаково напрямлені, і , якщо ці вектори протилежно напрямлені (мал. 1).
Друге твердження означає, що для кожного вектора , компланарного з двома не колінеарними векторами і (мал..2), знайдуться такі числа , що . Щоб указати компоненти та , досить розкласти вектор на суму векторів, колінеарних векторам і (згадайте розклад сили у фізиці на дві складові).
Третє твердження теореми означає, що для кожного вектора і не компланарних векторів , і знайдуться такі числа , що (мал..3)
Таким чином, базис у просторі дає змогу кожному вектору однозначно співставити упорядковану трійку чисел (координат цього вектора) і, навпаки, кожній упорядкованій трійці чисел за допомогою базису можна співставити єдиний вектор , де , і - вектори базису, тобто обраний базис дає змогу встановити взаємно однозначну відповідність між векторами і упорядкованими трійками чисел.
8. Означення визначника і його властивості.
Визначником (детермінантом) 2-го порядку, записаним у вигляді виразу
називається число .
Кожний елемент визначника можна записати у вигляді виразу
де і – номер рядка, j - номер стовпця. Слово детермінант походить від слова determine – визначаю (латин.), ввів його В. Лейбніц.
Вираз:
– визначник третього порядку, причому
.
Приклади обчислення визначників:
· Обчислення визначників за правилом Саррюса (Сарруса, Саріуса):
·
a 11 a 12 a 13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
· Правило дописування стовпців:
.
Для обчислення визначників вищого порядку використовують таке поняття як алгебраїчні доповнення.
Означення. Мінором елемента визначника називатимемо новий визначник, який дістанемо з даного визначника викреслюванням рядка і стовпця, які містять даний елемент.
Мінор елемента –
Наприклад:
, тоді
Означення. Алгебраїчним доповненням елемента називається мінор цього елемента, який береться із знаком і позначається :
Визначник п – го порядку має вигляд:
Теорема Лапласа: Визначник п – го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (або стовпця) на їхні відповідні алгебраїчні доповнення.
Наведемо доведення для визначника 3-го порядку:
Хочемо довести, що
= .
За означенням алгебраїчного доповнення, одержимо: = = .
Теорему доведено.
Властивості визначників.
1. Властивість рівноправності рядків і стовпців.
Визначник не змінюється, якщо в ньому рядки змінити на стовпці, а стовпці - на рядки.
=
2. Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (або стовпці), то визначник змінить знак на протилежний.
=
3. Визначник у якого елементи одного рядка (стовпця) відповідно рівні елементам другого рядка (стовпця), дорівнює нулю.
Якщо всі елементи рядка (стовпця) визначника мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника.
=
Визначник, у якого елементи двох рядків (стовпців) є відповідно
пропорційними, дорівнює нулю.
=0
Якщо у визначнику всі елементи якого-небудь рядка (стовпця) є сумою
двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників в одному з яких
суми замінено їхніми першими доданками, а в другому - другими.
= +
7. Якщо до елементів якого-небудь рядка (стовпця) відповідно додати елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число, то визначник не зміниться.
=
8. Визначник у якого всі елементи, розміщенні вище (або нижче) головної діагоналі є нулі, дорівнює добуток елементів головної діагоналі.
.
Доведення даних властивостей проводиться способом обчислення лівих і правих частин рівностей і порівняння їх результатів.
|
|
Спосіб обчислення визначників порядку п≥3:
1) розклад за елементами рядка або стовпця, причому вибираємо рядок або стовпець де є нулі;
2) зводимо визначник до трикутної форми.
Приклад 1.
Обчислити визначник:
Розв’язання:
1 – ий спосіб:
2 – ий спосіб:
9. Матриці. Дії над матрицями.
Означення: Таблиця чисел вигляду , яка складається з m рядків і n стовпців називається матрицею.
Елементи матриці: , де .
Якщо т≠п, то матриця прямокутна, якщо ж т=п, то квадратна.
Елементи , для яких утворюють головну діагональ матриці. Інша діагональ називається побічною.
Число рядків або стовпців квадратної матриці визначає порядок матриці.
Означення: Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі елементи, розміщені вище або нижче головної діагоналі, рівні нулю.
Означення: Діагональною називається квадратна матриця, у якої всі елементи, що не містяться на головній діагоналі рівні нулю.
Якщо т=1, то одержимо матрицю – рядок, якщо п=1, то матимемо матрицю – стовпець.
Означення: Нульовоюназивається матриця, у якої всі елементи – нулі.
Означення: Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е: .
Означення: Дві матриці та називаються рівними, якщо вони однакових розмірів і їх відповідні елементи рівні, тобто .
Будь-якій квадратній матриці можна поставити у відповідність певне число, яке називається визначником (детермінантом) і позначається, як ми знаємо символом det A. Прямокутні матриці визначників не мають.
Лінійні операції над матрицями
1. Додавання матриць (однакового розміру).
Сумою двох матриць і називається матриця С=А+В, .
Приклад 1: Знайти суму матриць:
і .
Розв’язування:
.
2. Добуток матриці на число.
Добутком матриці на число λ (або числа λ на матрицю А) називається матриця .
3. Різниця матриць (однакового розміру).
Різниця матриць А-В визначається як сума матриці А і матриці В, помноженої на (-1): А-В=А+(-1)В.
|
|
Матриця буде протилежною до матриці А, якщо всі її елементи є протилежними числами до відповідних елементів матриці А.
Транспонуванням матриці називається заміна її рядків на стовпці зі збереженням порядку їх запису.
Очевидно, що .
Означення: Матриця називається симетричною, якщо , тобто для її елементів виконується рівність (i,j=1,2,…,n).
Означення: Матриця називається кососиметричною, якщо і виконується рівність .
У кососиметричної матриці діагональні елементи дорівнюють нулю.
Справедливі такі властивості операцій:
1. А+В=В+А – комутативність відносно додавання матриць;
2. А+(В+С)=(А+В)+С – асоціативність відносно додавання матриць;
3. А+0=А, А-А=0 – роль нульової матриці в діях над матрицями;
4. α(βА)=(αβ)А – асоціативність відносно множення чисел;
5. α(А+В)=αА+αВ – дистрибутивність множення на число відносно додавання матриць;
6. (α+β)А=αА+βА – дистрибутивність множення на матрицю відносно додавання чисел.
4. Множення двох матриць.
Операція множення двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць.
Означення: Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В.
Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені.
Означення: Добутком С=АВ матриці на матрицю називається така матриця, у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів і -го рядка матриці А на відповідні елементи j -го стовпця матриці В:
, ; .
Це означення називають правилом множення рядка на стовпець.
Приклад 2. Знайти добуток матриць А і В, якщо , . Тоді .
Операція множення матриць не комутативна, тобто при множенні матриць не можна міняти місцями множники: АВ≠ВА.
Справедливі такі властивості:
1) (АВ)С=А(ВС);
2. (αА)В=А(αВ)=α(АВ);
3)(А+В)С=АС+ВС;
4) С(А+В)=СА+СВ;
5) ;6) АЕ=ЕА=А;
7) det(AB)=detA×detB.