Визначений інтеграл. Методи інтегрування

Означення. Якщо існує єдине число таке, що для будь-якого набору справджується: , то число називається визначеним інтегралом від функції на :

,

межі інтегрування.

Геометричний зміст визначеного інтеграла:

Інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції, яка обмежена віссю Ох, прямими і графіком функції :

                      y

 

 

 

I

 

                                      a                   b  x

Умови інтегрованості функції:

Теорема 1. (необхідна умова). Якщо функція неперервна на , то вона інтегрована на цьому відрізку.

Теорема 2. (достатня умова). Якщо функція неперервна на , то вона інтегрована на цьому відрізку.

Теорема 3. Якщо функція обмежена на і неперервна в ньому скрізь, крім скінченого числа точок, то вона інтегрована на цьому відрізку.

Властивості визначеного інтеграла – самостійна робота студентів.

Теорема. Якщо функція є якою-небудь первісною для неперервної функції , то справедлива формула:

                                  

 

Основні методи інтегрування.

1. Метод безпосереднього інтегрування.

Обчислення інтегралів за допомогою основних властивостей невизначеного інтеграла, таблиці інтегралів, називають безпосереднім інтегруванням.

Приклад:

2. Метод підстановки (заміна змінної).

Теорема. Нехай - первісна функції на проміжку , тобто , і нехай функція визначена і диференційована на проміжку , причому множина значень цієї функції є проміжок . Тоді справедлива формула: .

(Доведення теореми – самостійна робота студентів).

Приклад:

3. Метод інтегрування частинами.

Нехай - функції, що мають на деякому проміжку неперервні похідні. Тоді Інтегруючи обидві частини останньої рівності, дістанемо або

                                                            (1)

Дана формула (1) називається формулою інтегрування частинами. Вона дає змогу звести обчислення інтеграла до обчислення інтеграла