Однорідні диференціальні рівняння 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

(85)

де р, q —дійсні числа.

Ейлер запропонував шукати частинні розв'язки цього рівняння у вигляді

у = (86)

де k — стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію (86) в рівняння (85), дістанемо

(k² + pk –q) = 0

Оскільки ≠ 0, то

k² + pk + q = 0 (87)

Отже, якщо k буде коренем рівняння 87), то функція (86) буде роз­в'язком рівняння (85). Квадратне рівняння (87) називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння (85).

Позначимо корені характеристичного рівняння через k₁ і k₂. Можливі три випадки:

І. і — дійсні і різні числа (≠);

II. і — комплексні числа (=);

III. і — дійсні і рівні числа (=).

Розглянемо кожен випадок окремо.

І. Корені характеристичного рівняння дійсні і різні: ≠. У цьому випадку частинними розв'язками рівняння (85) є функції

Ці розв'язки лінійно незалежні, тому що при ≠

Згідно з теоремою 4 (п. 3.2) загальний розв'язок рівняння (85) знаходять за формулою

(88)

II. Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені:

=, =

Підставивши значення та у формулу (86), знайдемо розв'язки

За формулою Ейлера

маємо

;

Зауважимо, що коли функція z(х) = u(х) + iυ(x) є розв'язком рівняння (85), то розв'язками будуть також функції u(х) та υ(x). Дійсно, підставивши функцію z(x) в рівняння (85), дістанемо:

,

або

Остання тотожність можлива, коли вирази в дужках дорівнюють нулю (гл. 7, п. 1.4). Це означає, що функції u та υ — розв'язки рівняння (85). Згідно з цим зауваженням частинними розв'язками рівняння (85) є функції

Ці розв'язки лінійно незалежні, оскільки

,

тому загальний розв'язок рівняння (85) запишеться у вигляді

(89)

ІІІ. Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні: = =. За формулою (86) дістанемо один з розв'язків:

у =

Другий розв'язок шукатимемо у вигляді, де u — невідома функція від х. Знайшовши і та підставивши їх у рівняння (85), дістанемо

або

Оскільки — корінь рівняння (87), то і за теоремою Вієта 2 = — р, тому 2k + ρ = 0 і u" =0, звідки u = С₁х + С₂, де С₁, С₂ — довільні сталі. Поклавши С₁ = 1, С₂ = 0 (нас цікавить який-небудь розв'язок u(х) ≠ 0), знайдемо другий частинний розв'я­зок рівняння (85):

у₂ = х

Розв'язки y₁ та у₂ — лінійно незалежні, тому загальний розв'язок рівняння (85) має вигляд

у = (С₁ +С₂х) (90)