Узоры на плоскости. Паркеты

        Паркет (сетка, мозаика или кристалл) - бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Существует три вида правильных многоугольников, полностью заполняющих плоскость треугольник, квадрат и шестиугольник (рис. 32 а, б, в, г, д).

Рис. 32 а, б, в. Правильные многоугольники полностью покрывающие плоскость.

Рис. 32 г. Пол в аббатстве Сен-Мишель, Франция.

Рис. 32 д. Пол в королевском замке Блуа, Франция. Х11 - XV111 в.

Плоскость можно покрыть прямоугольниками. Существует всего 6 вариантов регулярного покрытия плоскости прямоугольниками. Каждый вариант обладает своим набором осей и плоскостей симметрии. Эти узоры мы можем видеть в паркетных полах, кирпичной кладке и мощении тротуаров плиткой. На рис. 23 - 26 показаны все 6 видов узоров и покрытия полов и тротуаров..

Рис. 23 а, б. Три плоскости симметрии и три оси симметрии.

Рис. 24. Одна ось симметрии 4-го порядка.        Рис. 25. Нет осей или плоскостей         

                                                                                                    симметрии.

                                                                                        а                                                           б

Рис. 26. Сдвиг по полосе на 1/3 длины. а – три оси симметрии, б – две оси и плоскость.

Рис. 27. Тротуар в Амстердаме (см. рис. 25).

       Если использовать другие правильные многоугольники, то известны комбинации разных правильных многоугольников, также образующих паркеты. Будем обозначать многоугольники цифрами по числу их вершин: 3 - правильный треугольник, 4 - квадрат, 6 - правильный шестиугольник, 12 - правильный двенадцатиугольник. Тогда можно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,3,3,3,3,3) (рис. 21 а); (4,4,4) (рис. 21 б); (6,6,6) (рис. 21 в); (4,8,8) (рис. 28 а), (3,3,6,6) - два варианта паркета (рис. 28 б); (4,6,12) (рис. 28 в); (3,4,4,6) - четыре варианта (рис. 28 г); (3,3,3,4,4) - четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,12,12); (цифры в скобках - обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине.

    а                                   б                                в                             г

Рис. 28. Варианты паркетов.

      Можно доказать, что не существует других вариантов укладки паркета из правильных многоугольников (при условии, что любые два многоугольника в паркете имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек).