Метод Зейделя и метод простой итерации

Лекция-3

ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Итерационные методы решения систем линейных

Алгебраических уравнений

Понятие об итерационных методах решения СЛАУ.

В отличие от прямых методов, итерационные методы обычно не дают точного ответа за конечное число шагов, однако на каждом шаге уменьшают ошибку на какую-то долю. Итерации прекращают, когда ошибка становится меньше допуска, заданного вычислителем (пользователем). Величина финальной ошибки зависит от количества итераций, а также от свойств метода и СЛАУ. Другими словам, итерационные методы дают решение СЛАУ в виде предела последовательности некоторых векторов, построение которых осуществляется посредством единообразного процесса, называемого итерационным процессом.

Рассмотрим два простейших итерационных метода решения СЛАУ – метод простой итерации и метод Зейделя.

Пусть требуется решить СЛАУ

                                               (2.3.1)  

Итерационные методы решения системы уравнений (2.3.1) состоят в построении последовательности векторов

                          (2.3.2)

по некоторому алгоритму, такому, что из  следует . При этом

                                       (2.3.3)

где  – точное решение системы, а – называется начальным приближением решения.

Вычисления ведутся до тех пор, пока норма разницы двух последовательных приближений не станет

,                                   (2.3.4)

где e – малое положительное число (заданная точность). С точностью до e решение принимается равным .

 

Метод Зейделя и метод простой итерации.

Пусть задана система уравнений:

.                         (2.3.5)

Выразим  через остальные члены i -го уравнения:

. (2.3.6)

Полученная запись СЛАУ приводит к двум итерационным процессам.

 

Метод простой итерации.

 , .         (2.3.7)  

Метод Зейделя.

 ,    (2.3.8)

При этом  задается (),  – номер итерации.

Процесс ведется до выполнения условия .

Норму  вектора  можно, в частности, вычислять по формулам:

1.  – норма по модулю;
2. – «евклидова» норма;
3. – максимум модуля для элементов вектора.

 

Разница методов состоит в том, что в методе простой итерации новые значения  учитываются лишь после вычисления их для всех , а в методе Зейделя они учитываются сразу же после вычисления их для каждого .

 

При решении итерационными методами встает вопрос сходимости получаемых приближений к решению задачи.

Достаточный условие сходимости обоих методов состоит в выполнении условия диагонального преобладания:

 , ,                        (2.3.9)  

где, по крайней мере, одно неравенство является строгим (  ).