Метод разложения на множители.
Уравнение f(x)g(x)h(x)=0
заменить совокупностью уравнений f(x)=0, g(x)=0, h(x)=0.
Необходима проверка корней.
Метод введения новой переменной.
Пусть g(x)=t, тогда уравнение p(g(x))=0 равносильно уравнению p(t)=0.
Метод замены уравнения равносильным.
1. При решении показательных уравнений:
уравнение af(x) = ag(x) ( a >0, a≠1)
равносильно f(x) = g(x).
2. При решении логарифмических уравнений:
уравнение loga f(x) = loga g(x) (f(x)>0,g(x)>0, a>0,a≠1)
равносильно f (x)= g(x).
3. При решении иррациональных уравнений (можно применять, если функции монотонны): уравнение равносильно f(x) = g(x).
4. Функционально-графический метод. f(x)=g(x)
o построение графиков функций y=f(x) и y=g(x); определение абсцисс точек пересечения графиков.
o использование свойств функций: монотонности, наибольшего и наименьшего значений на промежутке Х.
Метод разложение на множители | ||||
Показательные уравнения | Логарифмические уравнения | Тригонометрические уравнения | ||
Решить уравнение 1.Определим общий множитель – это переменная 2.Общий множитель вынесем за скобки 3. Получим уравнение и приведем к виду a f(x) = a g(x) 4. 5. Ответ. 1 | Решить уравнение 1.Определим общий множитель – это 2.Общий множитель вынесем за скобки 3.Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю Ответ. 2; 3 | Решить уравнение: 1.Определим общий множитель – это переменная 2.Общий множитель вынесем за скобки 3.Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю Ответ. | ||
Метод введения новой переменной. | ||||
Решить уравнение:
Заменим и получим квадратное уравнение
Подставим в уравнение значения 3 и 1
Ответ: 0;1.
| Решить уравнение: Заменим Получим квадратное уравнение Подставим в уравнение значения 3 и 1 Ответ: 2; 8. | Решить уравнение: Заменим Получим квадратное уравнение Подставим в уравнение значения 3 и 1 б) Ответ: |
Метод замены уравнения равносильным. | ||
Показательные уравнения | Логарифмические уравнения | Тригонометрические уравнения |
Теоремы равносильности Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают (в том числе, уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными). Теорема 1. Если любое выражение, входящее в уравнение, заменить тождественно равным ему на области определения уравнения выражением, то получим уравнение, равносильное данному. Теорема 2. Если к обеим частям уравнения прибавить выражение, имеющее смысл на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному. Следствие. Если любое слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному. Теорема 3. Если обе части уравнения умножить (разделить) на выражение, имеющее смысл и отличное от нуля на области определения уравнения, то получим уравнение, равносильное данному. | ||
Уравнение (a >0, a≠1) равносильно f(x) = g(x).
Пример. Уравнение преобразуем в уравнение равносильно уравнению
Ответ. 1 | Уравнение равносильно уравнению , где Пример. Уравнение равносильно уравнению Ответ. 4,5 | Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью тригонометрических формул, сводятся к одному из нескольких типов, решаемые стандартными методами.
Пример.
Ответ. |
Уравнение loga f(x) = loga g(x) (f(x) > 0, g(x)>0, a>0, a≠1) равносильно f (x) = g(x). Пример. Проверка. Ответ. 4 |