Самостоятельно решить подобные задачи

Урок 27. Решение задач с помощью координатной прямой

Часто в случайных экспериментах мы наблюдаем значения некоторых изменчивых величин или, по-другому, случайных величин. События заключаются в том, что та или иная величина принимает некоторое значение или попадает в какой-то промежуток. При этом вся числовая прямая содержит все элементарные события эксперимента, поэтому она изображает достоверное событие.

Изображение событий на числовой прямой схоже с изображением событий на диаграмме Эйлера. Только в случае числовой прямой события изображаются не произвольными фигурами, а числовыми промежутками – интервалами или лучами.

Обсудите с учениками, как могут изображаться два события на числовой прямой, используя аналогию с диаграммами Эйлера (см. табл. 1). Можно предложить учащимся заполнить таблицу, в которой уже есть диаграммы Эйлера. Задание: привести пример на числовой прямой.

Событие	Диаграмма Эйлера	Числовая прямая
Достоверное событие	Весь прямоугольник	Вся числовая прямая
Событие и противоположное событие
Несовместные события и
Пересечение событий и
Объединение событий и

Координатная прямая служит хорошей моделью для некоторых вероятностных задач. Сначала рассмотрим задачи, где нужно сравнить вероятности двух или нескольких событий.

Первый тип задач.

Пример 1 Барометр измеряет атмосферное давление . Рассмотрим три события:

A = {давление от 750 до 760 мм рт. ст.};

B = {давление больше 740 мм рт. ст.};

С = {давление от 755 до 770 мм рт. ст.}.

Изобразим события на числовой прямой промежутками.

Конечно, мы не можем найти даже приблизительно вероятности этих событий. Но все же некоторые выводы можно сделать. Событие целиком содержится в событии . Это означает, что вероятность события не может быть больше вероятности события . Значит, . В этом опыте можно даже утверждать, что — подумайте, почему. Точно так же, .

Сравнить вероятности событий и нельзя, даже несмотря на то, что событие изображается более длинным отрезком, чем событие . Не исключено, что событие случается чаще, чем .

Таким образом, на числовой прямой, также как и на диаграмме Эйлера, по размеру фигур, изображающих события, нельзя судить о вероятности количественно. Но можно в некоторых случаях сравнить эти вероятности.

Вывод: В рассмотренном опыте выполняется неравенство , а не равенство , поскольку с ненулевой вероятностью атмосферное давление может принимать значения от 740 до 750 мм рт. ст. и больше чем 760 мм рт. ст. Мы это знаем из жизненного опыта. Точно так же верно неравенство , а не равенство .

Самостоятельно решить подобные задачи.

Пример 2 Мама измеряет температуру воды для купания ребёнка. Изобразите на координатной прямой следующие события:

A = {температура не ниже C};

B = {температура не ниже C};

C = {температура не ниже C}.

Расположите эти события в порядке возрастания их вероятностей.

Пример 3. На хлебозаводе производится контрольное взвешивание испечённой буханки хлеба. Изобразите на числовой прямой следующие события:

A = {масса больше 790 г};

B = {масса меньше 810 г};

C = {масса от 792 до 808 г};

D = {масса от 790 до 810 г}.

Какое из этих событий имеет наименьшую вероятность?

Второй тип задач.

Зная, как события связаны между собой, и зная вероятность некоторых из них, с помощью числовой прямой можно найти вероятности других событий.

Пример 4. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже, чем , равна 0,87. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется или выше.

Решение. Обозначим температуру буквой . Пусть событие . На числовой прямой это событие изображается лучом, идущим влево от точки . Значит, событие изображается лучом, идущим вправо от этой точки.

Его вероятность равна .

Ответ: 0,13.

Пример 5 При изготовлении подшипников диаметром 65 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного более чем на 0,01 мм, равна 0,034. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр в пределах от 64,99 до 65,01 мм.

Решение. Пусть событие А заключается в том, что диаметр отличается от заданного более чем на 0,01 мм. Изобразим событие А на числовой прямой. Обратите внимание учеников на то, что на рисунке А состоит из двух частей. А нам нужно найти вероятность противоположного события – это событие изображается отрезком.

Вероятность А дана в условии: . Откуда получаем

Пример 6 Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,96. Вероятность того, что он прослужит два года или больше, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Решение. Пусть событие А заключается в том, что новый сканер прослужит больше года, а событие В — в том, что он прослужит два года или больше. Искомое событие — то, что сканер прослужит меньше двух лет, но больше года — обозначим С. Изобразим события на числовой прямой.

Подпишем известные вероятности.

На рисунке видно, что события В и С несовместны, а их объединением служит событие А. Воспользуемся формулой для несовместных событий:

откуда

Ответ: 0,09.

Пример 7 Термометр измеряет комнатную температуру. Вероятность того, что температура окажется не ниже , равна 0,78. Вероятность того, что температура не выше , равна 0,63. Найдите вероятность того, что температура окажется в пределах от до .

Решение. Обозначим температуру буквой и изобразим промежутками на числовой прямой указанные события и их вероятности. Нужно найти вероятность события , которое изображается закрашенным промежутком. Пусть эта вероятность равна .

Тогда вероятность события равна , а вероятность события равна (см. рис.).

Вместе три несовместных события , и покрывают всю числовую прямую, поэтому их суммарная вероятность равна 1: . Решив уравнение, получаем:

Это решение наглядно, но можно воспользоваться формулой. Пусть событие А заключается в том, что температура окажется не ниже , а событие В — что не выше . По рисунку видно, что объединением событий А и В является вся числовая прямая. Поэтому . Найдем искомую вероятность по формуле: