Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

Характеристикой среднего значения случайной величины является математическое ожидание.

Математическим ожиданием M(x) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на их вероятности.

M(X) = a = x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n =                                                      (3.2.1).

 

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M(c) = c.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M(kX) = kM(X).

3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M(X ± Y) = M(X) ± M(Y).

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) = M(X) M(Y).

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания (X – M(X)) равно нулю:

M(X – M(X)) = 0.

 

3.2.1. Найти математическое ожидание случайной величины Z = 2 X – 3 Y + 5, если M(X) = 2, M(Y) = - 3.

Решение. Используя свойства математического ожидания, найдем:

M(Z) = 2 M(X) – 3 M(Y) + 5 = 2 2 – 3 (-3) + 5 = 18.

3.2.2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

-2	1	x3
0,2	p2	0,4

 

А также известно, что M(X) = 2. Найти p₂ и x₃.

Решение. Очевидно, что p₂ = 0,4, так как сумма вероятностей равна 1. По определению M(X) = -2 0,2 + 1 0,4 + x₃ 0,4 = 2. Тогда x₃ = 5.

 

Характеристикой рассеяния возможных значений случайной величины относительно математического ожидания является дисперсия.

Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

                                         D(X) = M[X – M(X)]²                                              (3.2.2).

Дисперсию удобно вычислять по формуле

                                       D(X) = M(X²) – [M(X)]²                                            (3.2.3).

 

Дисперсия обладает следующими свойствами.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D(c) = 0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:

D(kX) = k²D(X).

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X ± Y) = D(X) + D(Y).

 

Наряду с дисперсией в качестве показателя рассеяния случайной величины используют среднее квадратическое отклонение , определяемое по формуле

                                                                                               (3.2.4).

3.2.3. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Z = 5 X – 2 Y + 3, если X и Y – независимые случайные величины и D(X) = 4, D(Y) = 11.

Решение. Используя свойства дисперсии, найдем D(Z) = 25 D(X) + 4 D(Y) + 0 = 25 4 + 4 11 = 144 и .

3.2.4. Бросают 10 игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.

Решение: пусть X_i – число очков, выпавших на i -той грани, . Очевидно, что величины X_i одинаково распределены.

1	2	3	4	5	6

X_i:

 

и M(X_i) = .

Обозначим X – сумма числа очков. Тогда X = X₁ + X₂ + … + X₁₀.

M(X) = M(X₁) + M(X₂) + … + M(X₁₀) = M(X_i) = .