2020-04-12
175
Как отмечалось в 3.3, функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной функцией. Кроме того, эта функция дифференцируема, за исключением, быть может, отдельных точек.
Тогда для непрерывной случайной величины вероятность любого отдельно взятого значения x0 равна нулю, т.е. P (X = x0 ) = 0 и
P (x1 < X < x2) = F (x2) – F (x1) (3.4.1)
Таким образом, для непрерывной случайной величины вероятность попадания на интервал не зависит от того, является ли этот интервал открытым или закрытым.
Непрерывную случайную величину можно задать с помощью плотности вероятности.
Плотностью распределения вероятностей φ(x) непрерывной случайной величины X называют первую производную от функции F(x):
φ(x) = F 
(x) (3.4.2).
Плотность φ(x) иногда называют дифференциальным законом распределения, а его график – кривой распределения.
|
|
|
Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами.
1. Это неотрицательная функция: φ(x) ≥ 0.
2. Вероятность попадания случайной величины на интервал (a;b) имеет вид
P (a < X < b) = 
(3.4.3)
3. Функция распределения непрерывной случайной величины связана с плотностью вероятностей, а именно
F(x) = 
= 1 (3.4.4)
4. Несобственный интеграл от плотности распределения φ(x) в пределах от - 
до + 
равен единице:
(3.4.5)
Из свойств плотности вероятностей следует, что ее график лежит не ниже оси абсцисс, а площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
3.4.1. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины X:
Найти: 1) коэффициент a; 2) функцию распределения F(x).
Решение. 1) Коэффициент a найдем из формулы (3.4.5), а именно
. Следовательно, a = 3.
2) Используя формулу (3.4.4) найдем F(x).
Если x ≤ 
, то φ(x) = 0 и F(x) = 0.
Если 
, то 
.
Если x > 
, то 
.
Итак, F(x) имеет вид
