§ 1. Простейшие квадратурные формулы. Составные формулы
Задача: вычислить для f (x), непрерывной на [ a, b ].
Опр. Квадратурная формула — , определяемая узлами
x 0, x 1,..., x n и весами q 0,..., qn.
Квадратурная формула называется точной для многочленов степени m, если для любого многочлена, степени ≤ m, подставленной вместо f (x), формула дает точное равенство.
I. Формула прямоугольников.
.
Формула точна для многочленов степени 1.
II. Формула трапеций.
, где .
Формула также точна для многочленов степени 1.
III. Формула Симпсона.
Пусть
.
Формула также точна для многочленов степени 2 (без док-ва).
Составные формулы получаются, если [ a, b ] разбить на N частей, на каждой части применить простую формулу, и результаты сложить.
Пусть
Составная формула прямоугольников:
.
Составная формула трапеций:
Пусть
Составная формула Симпсона:
.
§ 2. Метод неопределенных коэффициентов
Пусть известны узлы x 0,..., x n на [ a, b ].
Найдем квадратурную формулу , точную для любых многочленов степени m. Тогда при подстановке простых многочленов
1= x 0, x, x 2,..., xm получится система уравнений:
, для j = 0,..., m.
Это СЛУ с неизвестными q 0,..., qn.
, для j = 0,..., m.
В этой СЛУ (m +1) уравнений, (n +1) неизвестных.
Если m = n, то главный определитель системы
— определитель Вандермонда (транспонированный).
Следовательно, решение q 0,..., qn существует и единственно.
Пример.
Пусть m =2, n =2,
СЛУ:
Û Û
Получили формулу Симпсона.
§ 3. Формулы Ньютона-Котеса
Пусть d 0,..., d n Î [–1;1] (вспомогательные узлы, сначала различные, потом возможно совпадающие)
, для i = 0,..., n.
f (xi), для i = 0,..., n.
Пусть Ln (x) — интерполяционный многочлен Лагранжа по узлам xi.
Тогда , где p(x) — некоторая фиксированная функция, называемая весовой функцией.
Выполним замену:
Замечание: В случае, когда среди d 0,..., d n есть совпавшие (следовательно, среди x 0,..., x n тоже), вместо многочлена Лагранжа используют интерполяционный многочлен с кратными узлами. Однако результат так же записывают в виде .
Опр. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса — формулы вида
, где .
Свойства:
1. Если p(x) четна (симметрична) относительно , т.е. и xi расположены симметрично вокруг , то Di = Dn–i. Такую квадратурную формулу называют "симметричной".
2. "Симметричные" квадратурные формулы точны для любой функции, нечетной относительно , т.е. .
Частные случаи: при p (x) º 1
1) n = 0; d 0 = 0 — формула прямоугольников.
2) n = 1; d 0 = –1, d 1 = 1 — формула трапеций.
3) n = 2; d 0 = –1, d 1 = 0, d 2 = 1 — формула Симпсона.
4) n = 1; d 0 = 0 = d 1 — формула прямоугольников.
5) n = 3; d 0 = –1, d 1 = 0, d 2 = 1, d 3 = 0 — формула Симпсона.
§ 4. Формулы Гаусса
Задача: Дано: n — количество узлов;
[ a, b ] — отрезок;
p (x) > 0 на [ a, b ].
Найти: квадратурную формулу , точную для многочленов наибольшей степени m, (т.е. найти узлы x 0,..., x n–1 и коэффициенты D 0,..., D n-1).
Опр. Квадратурная формула Гаусса — решение поставленной задачи.
Теорема. Существует решение для m = 2 n – 1.
Доказательство:
1) При подстановке в квадратурную формулу простых многочленов 1= x 0, x, x 2,..., xm получится система уравнений:
, для j = 0,..., m.
В этой системе (m +1) нелинейное уравнение с 2× n неизвестными x 0,..., x n–1, D 0,..., D n-1. При (m +1) = 2× n решений конечное число (если оно существует).
Следовательно, m = 2× n – 1.
2) Существование решения будет показано ниже.
Опр. Скалярным произведением функций f (x) и g (x) (с комплексными значениями) называется
, где – комплексно сопряженная к g (x).
Опр. Многочлен g (x) ортогонален многочлену g (x), соответственно p (x) и [ a, b ], если (f (x), g (x)) = 0.
Обозначим многочлен степени n, со старшим коэффициентом =1, ортогональный всем многочленам меньшей степени.
Пример.
1. Многочлены Чебышева — соответствуют и [–1;1].
2. Многочлены Лежандра:
— соответствуют p(x) º 1 и [–1;1].
Если многочлен имеет n различных корней x 0,..., x n–1 на [ a, b ], то .
Пусть эти корни x 0,..., x n–1 — узлы интерполяции. Найдем по ним квадратурную формулу (например, формулу Ньютона-Котеса). Тогда она точна для всех многочленов степени (n –1).
Лемма.
Если x 0,..., x n–1 — корни (нули) многочлена степени n, и формула точна для многочленов степени (n –1), то она точна и для всех многочленов степени (2 n –1).
Доказательство:
Пусть Q 2 n –1(x) — произвольный многочлен степени (2 n –1).
По теореме о делении многочленов с остатком выполняется .
Найдем
. Лемма доказана.
Примеры: при p (x) º 1, на [–1;1]
1) n = 1; x 0 = 0; D 0 = 2, т.е. формула
точна для многочленов степени 2×1–1 = 1.
2) n = 2; x 0 = – 0,577; x 1 = 0,577; D 0 = D 1 = 1, т.е. формула
точна для многочленов степени 2×2–1 = 3.
3) n = 3; x 0 = – 0,775; x 1 = 0; x 2 = 0,775;
D 0 = 0,556; D 1 = 0,889; D 2 = 0,556, т.е. формула
точна для многочленов степени 2×3–1 = 5.
Замечание:
Чтобы использовать эти узлы и коэффициенты для интеграла на произвольном отрезке [ a, b ], нужно в интеграле выполнить замену переменной .
Тогда . Т.е. коэффициенты D 0,..., D n-1 не изменятся, а узлы пропорционально преобразуются в узлы на отрезке [ a, b ].
Составная формула Гаусса, для p (x) º 1:
отрезок [ a, b ] разбивается на N частей одинаковой длины,
каждая часть тоже разбивается на n – 1 частей,
точки деления — xki, где k = 0,..., N – 1, i = 0,..., n – 1.
Тогда .
§ 5. Погрешность квадратурных формул. Правило Рунге.
Пусть квадратурная формула точна для многочленов степени m (n ≤ m). Для оценки погрешности воспользуемся разложением f (x) по формуле Тейлора:
.
Тогда
.
Т.е. — погрешность квадратурной формулы.
Пример.
1) Для простейших формул прямоугольников и трапеций
.
2) Для формулы Симпсона
.
Теперь воспользуемся разложением f (x) по формуле Тейлора степени (m +1):
/
Тогда
.
Опр. Главным членом погрешности называется .
Правило Рунге — способ оценки главного члена погрешности без использования производной (m + 1) порядка.
Пусть Ih — приближенное значение интеграла , вычисленное по составной квадратурной формуле с длиной участка .
Тогда .
.