Рассмотрим правила, связанные с разложением.
Правило1: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:
n | ||
det(A) = | Σ | aij·Aij - разложение по i-той строке |
j = 1 |
Правило: Определитель матрицы равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:
n | ||
det(A) = | Σ | aij·Aij - разложение по j-тому столбцу |
i = 1 |
При разложении определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.
Пример 3.
Найти определитель матрицы A
A = |
|
Решение: Вычислим определитель матрицы разложив его по первому столбцу:
det(A) = |
| = |
= 2·(-1)1+1· |
| + 0·(-1)2+1· |
| + 2·(-1)3+1· |
| = |
= 2·(2·1 - 1·1) + 2·(4·1 - 2·1) = 2·(2 - 1) + 2·(4 - 2) = 2·1 + 2·2 = 2 + 4 = 6.
Пример 4.
Дана система четырех линейных алгебраических уравнений. Решить систему методом Крамера.
Решение.
|
|
Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных. Для этого разложим его по первой строке.
Найдем составляющие определителя:
Подставим найденные значения в определитель
Детерминант , следовательно, система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители по формулам Крамера:
Разложим каждый из определителей по столбцу в котором есть больше нулей.
По формулам Крамера находим
Решение системы: х1=7, х2=-8, х3=-5, х4=6.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ