1°. Перестановка местами 2 параллельных рядов матриц;
2°.Умножение всех элементов ряда матрицы на число отличное от нуля;
3°. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.
Определение: 2 матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А~В.
Произведение матриц
Операция умножения 2-х матриц вводится только для случая когда число столбцов 1 матрицы равно числу строк 2 матрицы.
Схематично произведение матриц можно изобразить так:
Пример 1.
.
Пример 2.
Выяснить определено ли произведение А*В.
Матрица А - имеет 3 столбца, матрица В- 2 строки. Условие умножения матриц не выполняется, значит операция умножения не выполнима.
Рассмотрим произведение . В матрице В -2 строки, в матрице А – 2 столбца. Операция умножения определена.
.
Понятие определителя
Определители были изобретены дважды, что в математике встречается не так уж часто. Сначала они были изобретены в Древнем Китае в начале нашей эры - без глубокой теории, но с хорошими правилами практического применения. Учёные этой страны старались скрывать свои открытия от других народов. В результате то, что было открыто или изобретено китайцами, вновь изобреталось в других странах.
|
|
Великий немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716) в 1693 г. ввёл двойные индексы, которые записывал ниже сроки. Лейбниц стремился во всех исследованиях к единым методам. В частности, он хотел создать единообразный метод решения систем линейных уравнений, что и привело его к определителям.
Термин «детерминант», иначе говоря «определитель» (от латинского determino – определяю), в нашем смысле ввёл Коши в 1815 г. Ему удалось найти все главные свойства определителей. Дальнейшее развитие теория определителей получила в трудах английских математиков А. Кэли и Дж. Сильвестера (1814 -1897). Первый из них и ввёл поныне употребляемый знак определителя │ │.
Определение: Определитель - это число, которое считается для квадратной матрицы по некоторым вполне определенным правилам.
Порядок определителя – это порядок квадратной матрицы.
Для обозначения определителя квадратной матрицы A пользуются обозначениями или или .
Пусть A -произвольная квадратная матрица порядка n.
1. Если n=1, то матрица A состоит из одного числа A и определитель равен этому числу.
Пример 1: , тогда определитель
2. Если n=2, то для матрицы определитель вычисляется по правилу
или
Пример 2:
Дано:
.
|
|
Решение:
3. Если n=3, то для матрицы
определитель вычисляется по правилу
или
Пример 3:
Дано:
Решение: Определитель матрицы A
detA=
detA=9.
Метод Крамера
1.4.1 И сторическая справка
С развитием теории определителей в конце 17 века швейцарский математик Габриэль Крамер (1704 - 1752) начал разрабатывать свою теорию и в 1751 году, не задолго до своей смерти, опубликовал "правило Крамера" - метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с ненулевым определителем матрицы системы.