Методы введения теорем

Конкретно – индуктивный (в готовом виде не сообщается, проводится спец работа по проведению учащихся к теореме. Итог: формулирование изучаемой теоремы).

Абстрактно – дедуктивный (Начинается с того, что учитель сам формулирует теорему, затем проводится работа по уточнению смысла данной теоремы, ее условия, заключения, построения чертежа). Этот метод требует затрат времени нежели предыдущий.

Доказательство – рассуждения с целью обоснования личности, каких либо утверждений

Метод доказательства – способ связи аргументов при переходе от условия к заключению суждений.

2 метода доказательства:

1. По пути обоснования тезиса (прямое и косвенное)

2. По математическому аппарату, используемое в доказательстве.

К прямым приемам доказательства относят приемы:

1. Преобразования условия суждения (синтетический).

2. Преобразования заключения суждения:

· Отыскание достаточных оснований справедливости заключения (восходящий анализ)

· Отыскание необходимых признаков справедливости суждения с последующей проверкой обратимости рассуждений (нисходящий анализ).

3. Последовательного преобразования то условия, то заключения суждения.

К косвенным приемам поиска доказательства относят:

1. Метод от противного (истинность доказываемого тезиса устанавливается посредством опровержения противоречащего ему суждению).
2. Разделенный метод, или метод разделения условий (тезис рассматривается как один из возможных вариантов предположений, когда все предположения отвергаются, кроме одного), иначе это метод называют методом исключения.

К методам доказательства по мат. аппарату относят:

1. Метод геом. мест
2. Алгебраический м-д
3. Векторный м-д
4. Координатный м-д

Для того чтобы учащиеся овладели прямым и косвенным доказательствами необходимо сформировать у них определенную последовательность умений

1. Искать док-во
2. Проводить док-во
3. Оформлять док-во теорем

Прямое

· Синтетическое - Исходным моментом яв-ся условие теоремы. На основе предыдущих и законов логики условие теоремы преобразуют по не приходят к заключению. Достоинства: полнота, сжатость, краткость. Минусы: мало способствует самостоятельному открытию док-ва; идея, план рассуждения остаются скрытыми от учащихся

· Аналитическое:

a) Восходящий анализ – Отталкивается от заключения теоремы и подбпраются для него достаточные условия.

b) Нисходящий анализ – Рассуждения начинаются с заключения теоремы, подбирают необходимые условия.

1. Косвенное (м-д от противного) Док – во теоремы из А следует В начинают с допущения, что из А следует В, пока не получится следствие которого противоречит условию теоремы, либо с одним из ранее изученных предложений.

В. А. Гусев предлагает следующие требования к проведению доказательств, которых надо придерживаться при доказательстве теорем.

1. Прежде всего, должно быть совершенно ясно, что дано и что требуется док-ть.

2. Очень велика роль чертежа, причем сопровождают весь ход док-ва, в динамике, а не как обычно – на одном чертеже сразу все.

3. Главное - постоянно формировать потребность у учащихся в проведении док-в, общая стратегия док-ва и любого его этапа должны быть смотивированы, обсуждены, самостоятельно осмыслены, только после этого есть смысл проведении этих док-в.

4. Все основные этапы док-ва нумеруются, при этом, во-первых, их удобно видеть, а во-вторых, на них удобно ссылаться.

5. Очень важно, что в конце каждого пункта док-ва в скобках даны основания сделанных выводов – это либо определения, либо доказанные ранее теоремы, либо ссылки на предыдущие этапы док-ва.

В учебнике Л. С. Атанасяна в основном используется прямой и косвенный виды док-ва. При док-ве сперва формулируется теорема, потом сразу док-ва. После теорем нет задач в виде закрепления.

У А. В. Погорелова после теорем нет задач для закрепления. Док-во теорем предлагается в алгоритмической деятельности, но не оговариваются. Не ясны использование свойств, аксиом, нет обоснованных выводов. Учебник Погорелова скорее рассчитан на учителя, чем на ученика, поэтому самостоятельное изучение учащимися теорем затруднительно.

В учебнике А. Н. Колмогорова рассуждения при док-ве теорем, связанные с использованием некоторых свойств, аксиом для учащихся не ясны.

В учебнике Валерия Александровича Гусева док-во приводится очень подробно, алгоритм оговаривается, каждый шаг и каждый этап подробно описан. У учащихся не возникает трудностей при самостоятельном изучении теорем. Учащиеся учатся алгоритмически думать.