Свойства и признаки равнобедренного треугольника

Опорный конспект.

В тетради записать дату, классная работа, тему урока. Ознакомится с конспектом. Записать определения, формулы и примеры решения задач.

Цель урока. Повторить и систематизировать знания по начальным геометрическим сведениям и треугольникам.

Начальные геометрические сведения

1. Углы

Углом называется геометрическая фигура (рис. 1), образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.
Точка О — вершина угла, а лучи ОА и ОБ — стороны угла. Обозначение: ∠AOB или ∠ab.
Угол в 90° называется прямым (рис. 2).
Угол, меньший прямого, называется острым (рис. 3).
Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым (рис. 4).

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого (рис. 5).
∠AOC и ∠DOB; ∠BOC и ∠AOD — вертикальные.
Вертикальные углы равны: ∠AOC = ∠DOB и ∠BOC = ∠AOD.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию (рис. 6), ∠AOC и ∠BOC — смежные.

Сумма смежных углов равна 180°.
Биссектрисой угла называется луч, проходящий между сторонами угла и делящий его пополам (рис. 7).
Биссектрисы вертикальных углов составляют продолжение друг друга (рис. 8).
Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны (рис. 9).

Треугольник

Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, последовательно соединяющих эти точки.
Точки А, В, С — вершины треугольника АВС.
Отрезки АВ, ВС и АС — стороны, ∠A, ∠B и ∠C — углы. ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Стороны треугольника часто обозначают малыми буквами (рис. 13): АВ = с, ВС = а, АС = b.
Р = а + b + с — периметр треугольника.

Треугольник, у которого все углы острые, называется остроугольным (см. рис. 13).
Треугольник, у которого есть прямой угол, называется прямоугольным (рис. 14).
Стороны, образующие прямой угол, называются катетами (а и b), а сторона, лежащая против прямого угла, — гипотенузой (с).
Треугольник с тупым углом называется тупоугольным (рис. 15).

Свойства равнобедренного треугольника:
1. У равнобедренного треугольника углы у основания равны (теорема).
2. Медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают (теорема).
3. Медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
4. Высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.
5. Биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны.

Свойства и признаки равнобедренного треугольника

.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника (рис. 18). ∠CBD — внешний угол треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним (см. рис. 18): ∠CBD = ∠A + ∠C.
Отрезок, соединяющий середины двух сторон, называется средней линией треугольника (рис. 19).