Истечение из суживающегося сопла

Рассмотрим процесс равновесно­го (без трения) адиабатного истече­ния газа через сопло из резервуара, в котором газ имеет параметры р₁, v₁, Т₁.Скорость газа на входе в соп­ло обозначим через с₁.Будем счи­тать, что давление газа на выходе из сопла р₂равно давлению среды, в которую вытекает газ.

Расчет сопла сводится к опреде­лению скорости и расхода газа на выходе из него, нахождению пло­щади поперечного сечения и пра­вильному выбору его формы.

Скорость истечения

.

Если площадь входного сечения сопла достаточно большая, то с₁=0 и

,

где Dh₀=h₁–h₂=u₁–u₂+p₁v₁–p₂v₂ – располагаемый адиабатный теплоперепад.

Для идеального газа u₁–u₂=l и

поэтому

.

     Тогда

.

     Т.к. , то

.

Массовый расход газа m через сопло,  обычно выражаемый в кг/с, определяется из соотношения

,

где F –   площадь выходного сечения сопла.

В итоге

.

Из последнего выражения следует, что массовый секундный расход идеального газа при истечении из большого резервуара зависит от площади выходного сечения сопла, свойств и начальных параметров га­за (k, p, v)и степени его расши­рения (т. е. давления р₂газа на вы­ходе).

По уравнению построена кривая 1К0 (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Зависимость массового расхода газа через сопло от отношения р₂/р₁

 

При р₂=р₁m=0. С уменьшением давле­ния среды р₂ расход газа увеличи­вается и достигает максимального значения при соответствующее критическому давлению р_кр. При даль­нейшем уменьшении отношения  значение m убывает и при  становится равным нулю.

Для отыскания максимума функ­ции  при p₁=const, соответствующего значению , возьмем первую производную от выражения в квадратных скобках и приравняем ее нулю. В итоге после преобразований получим

,

т. е. отношение критического давле­ния на выходе р₂=р_кр к давлению перед соплом р₁ есть величина по­стоянная, зависящая только от показателя адиабаты, т. е. от природы рабочего тела.

Для одноатомного газа k=1,66 и =0,49. Для двухатомного газа k=1,4 и =0,528. Для трехатом­ного газа и перегретого водяного пара k=1,3 и =0,546.

Критическая скорость устанав­ливается в устье сопла при истече­нии в окружающую среду с давле­нием, равным или ниже критиче­ского. Подставив в вместо  значение

.

Величина критической скорости определяется физическими свойст­вами и начальными параметрами газа.

Из уравнения адиабаты следует, что , заменяя  на , получаем:

.

     В итоге

.

     Из курса физики  есть скорость распространения звука в среде с параметрами p=p_кр и v=v_кр.

Таким образом, критическая ско­рость газа при истечении равна местной скорости звука в выходном сечении сопла.

Максимальный секундный рас­ход газа при критическом значе­нии  можно определить из урав­нения для m, если в него подставить .

Тогда

.

Максимальный секундный рас­ход определяется состоянием газа на входе в сопло, величиной выход­ного сечения сопла F_min и показате­лем адиабаты газа, т. е. его при­родой.

Лекция 8