Системы линейных уравнений

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными

 

			(3)

 

 

Эту систему можно записать в матричной форме: AX = B,

 

 

где

 

Решением системы называется всякая матрица-столбец X, обращающее матричное уравнение AX = B в тождество. Система называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если решений нет. Совместная система называется определенной, если решение единственное, и неопределенной, если она имеет бесконечно много решений.

Найдя произведение А∙Х, замечаем, что систему уравнений (3) можно записать в виде А∙Х = В. Чтобы решить систему А∙Х = В матричным методом, умножим обе части этого равенства слева на А^-1 и получим А^-1 ∙ А∙Х = А^-1 ∙ В, но А^-1 ∙ А = Е, Е∙Х =Х, значит

Х = А^-1∙ В

 

Правило Крамера

 Если m = n и Δ = det A ≠ 0, то решение системы можно получить по формулам Крамера:  

 

где Δ_i (i = 1,2,…,n) – определитель, получаемый из определителя Δ заменой i‑го столбца на столбец свободных членов.

Пример 5. Решить систему по формулам Крамера:

Решение.

х₁ =  =1; х₂ =  = 2; х₃ =  =1.

 

Обратная матрица

Определение. Пусть А квадратная матрица порядка n. Матрица А^-1 порядка n называется обратной к А, если А∙А¹ = А^-1 ∙А = Е.

 

Пусть n =3. A = , ∆(А)≠0, А^-1 = ,

где А_ij - алгебраические дополнения для а_ij:

 

Пример 6. Решить систему, данную в примере 5 матричным способом. 

Решение. Так как ∆(А) = 33 ≠0, то А^-1 существует. Чтобы найти ее, нужно найти все алгебраические дополнения А_ij:

 А₁₁ = , А₁₂ = - ,

Отсюда

А^-1 = ; А^-1 ∙ А = Е.

Используя матричный метод, получим:

=  ∙ =

 

Две системы называются равносильными, если каждое решение одной является решением другой, т.е. у них множества решений совпадают. Следующие элементарные преобразования переводят систему в равносильную:

1) перемена местами любых двух уравнений;

2) умножение обеих частей любого уравнения на неравное нулю число;

3) прибавление к обеим частям любого уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на произвольное число.

Данные преобразования проще выполнять над матрицей, составленной из коэффициентов при неизвестных переменных и свободных членов. Такая матрица называется расширенной матрицей системы:

 

 

Метод Гаусса

Это метод приведения расширенной матрицы системы к треугольному виду. Пусть с помощью элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к виду:

 

	Треугольный вид				Ступенчатый вид

 

Треугольный вид соответствует совместной определенной системе, т.е. получаем единственное решение. Ступенчатый вид соответствует при b_r+1 ≠ 0 несовместной системе, а при b_r+1=L=b_m=0 совместной неопределенной системе (бесконечное множество решений).

 

Пример 7. Решить систему уравнений методом Гаусса:

 x₁ + 2x₂ – x₃ + x₄ = – 3,

  –x₁ – x₂ + x₃ – 2x₄ = 1,

    x₁ + 3x₂ – x₃    = – 5.

Решение.

.

 

 

Обозначим через S_k k-ю строку матрицы. Выражение S_k + S_i означает, что к элементам k-й строки прибавлены соответствующие элементы i-й строки.

Получен ступенчатый вид расширенной матрицы, из которого видно, что система имеет бесконечное множество решений. Выбирая свободными неизвестными x₃ = t, x₄ = s, получим: x₂ = –2 + s,

x₁ = –3 – 2x₂ + x₃ – x₄ = –3 – 2(–2 + s) + t – s = 1 + t + 3s.

Ответ: x₁ = 1 + t – 3s, x₂ = –2 + s, x₃ = t, x₄ = s, где t, s – произвольные числа.

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется определителями второго и третьего порядков? Правила их вычисления.

2. Что называется определителем n-го порядка?

3. Указать свойства определителей.

4. Что называется системой m линейных уравнений с n неизвестными? Что значит решить такую систему?

5. Что называется решением системы? Что называется решением системы двух и трех линейных уравнений с тремя неизвестными?

6. Какая система называется совместной, несовместной, определенной, неопределенной?

7. Какие преобразования системы называются элементарными?

8. Как формулируется теорема об элементарны преобразованиях системы уравнений?

9. Какие системы называются равносильными?

10. Какой вывод можно сделать о системе линейных уравнений, если она содержит уравнение вида

0x₁ + 0x₂ + … + 0x_n = в,

где в – любое действительное число?

11. Провести полный анализ решений линейной системы, опираясь на метод Гаусса.

12. Какие переменные называются базисными?

13. Какие переменные называются свободными?

14. Что называется частным, общим решением системы линейных уравнений?

15. Записать квадратную систему порядка n в матричной форме.

16. Записать решение системы в матричной форме.

17. При каких условиях решение системы можно записать в матричной форме?

18. Записать формулы Крамера для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

19. Записать формулы Крамера для квадратной системы порядка n.

20. При каком условии формулы Крамера имеют смысл?

21. Какая система линейных уравнений называется однородной?

22. Что можно сказать о множестве решений однородной системы m уравнений с n неизвестными при m<n?

23. Всегда однородная система n уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?

24. Пусть столбец из свободных членов линейной системы уравнений равен сумме столбцов ее основной матрицы. Указать какое-либо частное решение системы.

25. Пусть столбец из свободных членов линейной системы уравнений совпадает с последним столбцом ее основной матрицы. Указать какое-либо частное решение системы.

 

 Варианты самостоятельной работы