Определители и их вычисление

Определение. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице 2-го порядка

А = = называется число

Пример1.

Определение.   Пусть дана квадратная матрица 3-го порядка

 

 

тогда соответствующим определителем 3-го порядка называется число  

 

 

	(1)

 

 

Правило (правило треугольников) вычисления определителя 3-го порядка: одно из трех слагаемых, входящих в левую часть (1) со знаком плюс, есть произведение элементов главной диагонали матрицы А, каждое из двух других – произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и элемента из противоположного угла матрицы А (рис. 1,а), а слагаемые, входящие в формулу (1) со знаком минус, строятся таким же образом, но относительно второй (побочной) диагонали (рис. 1,б).

 

 

 

Определение. Определитель n-го порядка, соответствующий квадратной матрице А n-го порядка (detA), есть число

	(2)

 

где называется алгебраическим дополнением элемента а_ik (номер строки i фиксирован), а М_ik называется минором этого элемента и является определителем (n – 1)-го порядка, который получается из detA вычеркиванием i-й строки и k-го столбца. Соотношение (2) называется разложением определителя по элементам i-й строки. Аналогично определяется разложение определителя по элементам столбца. Например, определитель 3-го порядка может быть вычислен разложением по элементам 2-го столбца:

 

 

 

 

Свойства определителей:

1) если строки матрицы определителя сделать столбцами с теми же номерами (транспонировать матрицу), то определитель не изменится;

2) если все элементы некоторой строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число;

3) если поменять местами две соседние строки (столбца) определителя, то он изменит знак;

4) если соответствующие элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то он равен нулю; в частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю;

5) если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме указанной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором вторые слагаемые.

    Например,

 

6) при прибавлении к элементам любой строки (столбца) соответствующих элементов какой-либо другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число, величина определителя не изменится.

Основные методы вычисления определителей приведем в следующих примерах.       

 

 

Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка тремя способами: по определению; разложить по элементам первой строки; преобразованием его с помощью свойств:

 

 

Решение.

1) D = 1 × 6(-8) + 2(-1)3 + 2 × 5(-4) – (-4)6 × 3 – 2 × 2(-8) - 1× 5 (-1) = 15;

 

2) ;

3) умножая первую строку на (-2) и прибавляя ко второй, затем, умножая первую строку на (-3) и прибавляя к третьей, получаем

                

Разлагая этот определитель по элементам первого столбца, находим

                              

             Матрицы

Пусть m и n – натуральные числа.

Определение Матрицей А размера m на n называется прямоугольная таблица, составленная из m×n действительных чисел

А = .

Здесь m – число строк в матрице А; i – номер строки (1 ≤ i ≤ m); n – число столбцов; j – номер столбца (1 ≤ j ≤ n); а_ij – элемент матрицы А, находящийся в i –й строке и j –м столбце. Матрицу А удобно обозначать (а_ij)_mn. По матрице А можно построить транспонированную матрицу А ^т, сделав строки матрицы А столбцами с теми же номерами.

Две матрицы А = (а_ij)_mn и В = (b_ij)_pq называтся равными, если m = p, n = q, a_ij = b_ij для всех значений i,j.

Матрица   размера 1 × n называется матрицей-строкой, матрица размера m×1 называется матрицей-столбцом.

 

Сложение матриц и умножение их на число

Пусть А = (а_ij) и В = (b_ij) матрицы размера m×n.

Определение. Суммой матриц А и В называется матрица С, для которой c_ij = a_ij + b_ij,               1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n (то есть, чтобы сложить две матрицы, нужно сложить их соответствующие элементы).

Определение. Произведением матрицы А на число  называется матрица А = (а_ij)_mn (то есть, чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент этой матрицы умножить на это число).

Пример 3. Пусть А =   ; С = .

Вычислить матрицу 4А + 5С + 7С ^Т, где С ^Т =  - матрица, транспортированная к матрице С.

Решение. Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент этой матрицы умножить на это число. Чтобы сложить матрицы одинаковых размеров, нужно сложить одноименные элементы этих матриц. Поэтому

4А + 5С – 7С ^Т =  +  +  = .