2020-04-20
200
1. В прямоугольном треугольнике с катетами 5 и 12 найти гипотенузу, медиану и высоту, проведенные к гипотенузе и площадь треугольника.
2. В треугольнике АВС проведены медианы 
точка пересечения медиан. ВО = 4, О 
Найти длинны медиан.
3. В прямоугольном треугольнике АВС 
гипотенуза равна 10. Найти катеты и площадь треугольника.
4. В прямоугольном треугольнике АВС катет СВ равен 
, Угол, лежащий против этого катета, равен 30 
. Найти периметр треугольника.
5. В параллелограмме АВСD проведена биссектриса АК. AB = 5, KC = 2. Найти периметр параллелограмма.
6. В треугольнике АВС проведена средняя линия MN. Периметр треугольника АВС равен 8, а площадь треугольника MBN равна10. Найти периметр треугольника MBN и площадь треугольника АВС.
7. В треугольнике АВС проведена прямая РК параллельно стороне АС. ВК = 3,
КС = 6. Площадь треугольника АВС равна 27. Найти площадь треугольника РВК
8. В треугольнике АВС проведена биссектриса В 
. АВ = 8, ВС = 4, 
= 2. Найти сторону АС.
9. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС катет равен 4. Найти гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
|
|
|
10. В трапеции основания равны 9 и 3. О –точка пересечения диагоналей трапеции. Площадь треугольника АОD равна 18. Найти площадь треугольника ВОС.
11. Четырехугольник АВСD вписан в окружность. Угол А равен 
, угол В равен 110 . Найти остальные углы.
12. В трапецию вписана окружность. Боковые стороны равны 12 и 8. Найти среднюю линию трапеции.
13. В окружность вписана равнобедренная трапеция. Один из углов трапеции
равен 40 
Найти остальные углы.
14. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Боковая стороны равна 10. Найти периметр трапеции.
15. В четырехугольник вписана окружность. Две противоположенные стороны равны 9 и 3, третья сторона равна 8. Найти четвертую сторону.
16. На окружности поставлены три точки А, В и С, так что АВ: ВС: АС = 1: 3: 5.
Через точку С проведена касательная к окружности. Найти угол АСВ и угол между касательной и хордой АС.
17. Из точки М к окружности проведены две касательные. А и В – точки касания.
О –центр окружности. Дуга АВ, заключенная между касательными равна 70
Найти угол АМВ.
18. В окружность вписан прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Найти длину и площадь окружности.
19. В равнобедренном треугольнике основание равно 6, а боковая сторона равна 5. Найти площадь треугольника и радиусы вписанной и описанной окружности.
20. В треугольнике две стороны равны 15 и 8, а угол между ними равен 60 . Найти третью сторону треугольника и его площадь.
21. В треугольнике АВС АВ = 8, АС = 15, ВС = 13. Найти угол А.
22. В треугольнике АВС угол В равен 30 . Радиус описанной окружности равен 6. Найти сторону АС.
|
|
|
23. В равностороннем треугольнике сторона равна 6. Найти высоту, площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей.
24. В квадрате со стороной равной 4 найти диагональ, площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей.
25. В правильном шестиугольнике со стороной равной 9 найти диагональ, площадь и радиусы вписанной и описанной окружностей.
26. В треугольнике две стороны равны 5 и 6, и угол, заключенный между ними равен 45 . Найти площадь треугольника и высоту, опущенную на сторону, равную 6.
27. Стороны треугольника равны 13,14 15. Найти площадь треугольника.
28. В ромбе одна диагональ равна 12, а сторона равна 10. Найти площадь ромба и радиус вписанной окружности.
29. Диагональ прямоугольника равна 13, одна из сторон равна 5. Найти вторую сторону, площадь прямоугольника и радиус описанной окружности.
30. Диагональ квадрата равна 8. Найти сторону, площадь квадрата и радиусы вписанной и описанной окружностей.
31. В ромбе сторона равна 6, а острый угол 60 Найти диагонали ромба и его площадь.
32. В окружности центральный угол, опирающийся на дугу АВ равен 60 , а радиус окружности равен 6. Найти хорду АВ и площадь сектора АОВ.
33. Сторона шестиугольника ABCDEF равна 6. Найти диагонали шестиугольника ВЕ и СЕ и его площадь.
34. В равнобедренной трапеции основания равны соответственно 10 и 2, а острый угол равен 45 
Найти боковую сторону и площадь трапеции.
35. В треугольнике АВС прямая РК параллельна АС. АР = 4, РВ = 8, АС =6 Найти РК.
36. В прямоугольной трапеции основания равны 13 и 5, большая боковая сторона равна 10. Найти площадь трапеции.
37. ВМ - медиана в треугольнике АВС. Площадь треугольника АВМ равна 5. Найти площадь треугольника АВС.
38. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка К, так что АК: КС =3: 1. Площадь треугольника АВС равна 12. Найти площадь треугольника АВК.
39. В равнобедренной трапеции ABCD меньшее основание ВС равно 2, большее основание АD равно 10 и угол между боковой стороной и высотой трапеции равен 30 . Найти боковую сторону и площадь трапеции.
40. В трапеции ABCD точка М –точка пересечения диагоналей. Основания трапеции равны 3 и 15, Диагональ АС равна 12. Найти отрезки, на которые точка М делит диагональ АС.
41. В прямоугольном треугольнике АВС угол С - прямой. Гипотенуза равна 8, а 
. Найти катеты треугольника.
42. В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой. АВ = 6, ВС = 
Найти 
и площадь треугольника.
43. В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой. ВС = 
. Найти гипотенузу, другой катет и высоту, проведенную к гипотенузе.
44. В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой. ВС = 10, 
. Найти высоту, проведенную к гипотенузе.
45. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона равна 10 и синус угла при основании равен 0,6. Найти основание АС и площадь треугольника.
46. В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой. 
. Найти синус угла В и синус внешнего угла при вершине В.
47. В параллелограмме ABCD проведена высота BH. АВ = 9, АH = 3. Найти косинус и синус угла D.
48. В треугольнике АВС прямая РК параллельна АС. Сторона АВ = 6, ВК = 3,
КС =2. Найти АР.
49. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса АК. Угол ВАК равен 30 ,
АD = 6, КС = 2. Найти периметр параллелограмма, его площадь и угол С.
50. В окружности проведены две хорды АВ и СD, которые пересекаются в точке М. АМ = 3,
СМ = 2, МD = 6. Найти МВ.
51. В прямоугольной трапеции ABCD основания равны 10 и 6, большая боковая сторона равна 5. Найти площадь трапеции, диагональ АС, тангенс тупого угла С.
52. В прямоугольном треугольнике АВС угол С - прямой. Из вершины С проведена медиана СМ. АВ = 10, АС = 6. угол В равен 40 . Найти площадь треугольников АВС и МСВ, длину медианы СМ, 
53. К окружности с центром О и радиусом равным 3 из точки А проведено две касательных. Точки касания В и С. АВ = 6, угол ВАС = 60 Найти АС, ВС,
|
|
|
углы ВОС и АВС.
54. В прямоугольном треугольнике АВС угол С - прямой. Катеты равны 3 и 4. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей.
55. В окружности с центром О проведено две хорды АВ и АС. Дуга АВ равна 100 , дуга АС равна 120 . Найти углы ВАС и ВОА.
56. В параллелограмме ABCD опущена высота ВH. Сторона АВ равна 10, АH = 8 и HD = 12. Найти площадь параллелограмма, диагональ ВD, 
.
57. В параллелограмме ABCD из вершин А и В проведены биссектрисы, которые пересекаются в точке Р. АВ = 10, АР = 8. Найти ВР.
58. В параллелограмме ABCD угол С равен 45 , DС = 2 
, АD = 9. Найти площадь параллелограмма и диагональ ВD.
59. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона ВС равна 10. Внешний угол при вершине С равен150 . Найти угол АВС и площадь треугольника.
60. В трапеции ABCD проведена средняя линия MN и диагональ АС, которые пересекаются в точке Р. Основания трапеции 16 и 6. Найти длины МР и РN.
61. В окружность вписан четырехугольник ABCD, у которого угол В равен 70 , а угол С равен 80 . Через вершину С проведена касательная. Угол между стороной ВС и касательной равен 60 Найти угол А, дугу АВС и дугу DС.
62. В прямоугольном треугольнике АВС угол С – прямой. Катет АС равен 8, 
. Найти гипотенузу, синус внешнего угла при вершине В, синус угла А и радиус описанной окружности.
63. В параллелограмме ABCD сторона АD равна 6 и сторона АВ равна 4. Высота, опущенная из вершины В на сторону АD равна 8. Найти высоту, опущенную из вершины В на DС.
64. В треугольнике АВС высота, опущенная из вершины А, равна 2, а высота, опущенная из вершины В, равна 6, ВС = 9. Найти АС.
65. Около треугольника АВС описана окружность. Через вершину А проведена касательная. Угол С равен 40 , дуга АС равна 140 Найти углы между касательной и стороной АВ, между касательной и стороной АС и угол АВС
66. В треугольнике АВС угол С равен 90 
. Найти 
.
67. В треугольнике АВС угол С равен 90 
. Найти .
68. В треугольнике АВС угол С равен 90 
АВ = 16 
69. В треугольнике АВС угол С равен 90 . 
70. В треугольнике АВС угол С равен 90 . СН – высота, АВ = 16, 
|
|
|
71. В треугольнике АВС угол С равен 90 . АВ = 25, 
72.В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 8, 
73. В треугольнике АВС АС = ВС = 20, АВ = 8, 
74. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 30, 
75. В треугольнике АВС АС = ВС = 10 
. 
76. В треугольнике АВС АС = ВС, высота СН равна 15, 
. Найти АС.
77. В треугольнике АВС АС = ВС= 
высота СН равна 5. Найти 
.
78. В треугольнике АВС угол С равен 90 Угол А равен 30 . АВ равно 4. Найти ВС.
79. В треугольнике АВС угол С равен 90 Угол А равен 30 , 
10 
. Найти АВ.
80. В треугольнике АВС угол С равен 90 Угол А равен 60 , 
8 . Найти АВ.
81. В треугольнике АВС угол С равен 90 СН- высота, угол А = 30 , АВ = 22. Найти АН.
82. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 
1 см изображена фигура
(см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах
1. 2. 3. 4. 5.
83.Найти площади фигур, зная координаты их вершин.
1. 2. 3. 4.
84. Найти площадь заштрихованной фигуры.
1. 2. 3.
Раздел 2. Вектора и метод координат на плоскости
Тема 2.1. Вектора
1. Классификация векторов
| Вектора |
| Неколлинеарные |
| Коллинеарные Лежат на параллельных прямых или на одной прямой аа |
| Сонаправленные Направлены в одну сторону |
| Противоположено направленные Направленны в разные стороны |
| Равные Равные по длине Равные по длине |
| Противоположенные Равные по длине |
2. Сложение векторов
1). Правило треугольника 
В 
А 
С
2) Правило параллелограмма
В
D
A
C
3. Вычитание векторов.
1). Правило треугольника
В 
А 
С
2). Сложение противоположенного вектора
4. Выразить вектор через два неколлинеарных вектора
B K P C
A D 
5. Упрощение выражений с векторами.
правило сложения векторов
(заменяем вектор 
на противоположенный 
(меняем местами вектора)
правило вычитания векторов
(заменяем вектор 
на противоположенный 
(группируем вектора)
(группируем вектора)
Тема 2.2. Метод координат
1. Нахождение координаты вектора В
и В 
А
2. Нахождение координаты середины отрезка
А В
3. Нахождение длины отрезка АВ М
4. Сложение векторов B
A C
B
5. Вычитание векторов 
6. Умножение вектора на число
7. Длина вектора или модуль вектор а
у
8. Разложение вектора по единичным векторам 
x
9. Скалярное произведение векторов
Определение 
В координатах 
10. Нахождение косинуса угла между векторами 
11. Свойства скалярного произведения
1). если 
и 
2). если 
угол между векторами острый
3). если 
угол между векторами тупой
12. Если вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю
если вектора параллельны, то их координаты пропорциональны
если 
если 
13. Уравнение окружности 
где
14. Уравнение прямой, проходящей через две точки А 
и В 
находим угловой коэффициент 
решаем уравнение 
15. Если две прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны 
если две прямые перпендикулярны, то 
16. Что бы найти точку пересечения двух прямых 
и 
, надо
приравнять их правые части 
и найти абсциссу (
) точки
пересечения. Подставив полученное в любое из данных уравнений, найдем
ординату (
).
17. Что бы найти координаты точки пересечения прямой с осью абсцисс
(Ох), надо найти 
Что бы найти координаты точки пересечения прямой с осью ординат
(Оу), надо подставить в уравнение прямой 
и найти 
18. Что бы найти точку пересечения окружности и
прямой , надо решить подстановкой систему двух уравнений
и найти 
.
Это и будут координаты точки пересечения прямой и окружности.
Тренажер 2. Задачи к разделу «Вектора и метод координат на плоскости»
1. Задайте произвольные неколлинеарные три вектора 
Найти результирующий вектор 
2. Задайте произвольные коллинеарные три вектора 
Найти результирующий вектор 
3. Дан параллелограмм АВСD. Вектор 
обозначим за , а вектор 
за 
На стороне ВС взята точка К, так что ВК: КС = 2: 1, точка М – середина 
С. Выразить вектора 
и .
4. Дан параллелограмм АВСD. Вектор 
обозначим за , а вектор 
за , точка N – середина 
Точки K, P и M делят сторону ВС на четыре равные части. Выразить вектора 
и .
5. Упростить выражение и найти результирующий вектор
а) 
б) 
в) 
г) 
6. В параллелограмме АВСD найти результирующий вектор 
7. В параллелограмме АВСD точка M – середина DC, точки T и P делят сторону AD на три равные части. Выразить вектора 
, 
, 
и 
через вектора 
8. Даны координаты точек А (3, 8) и В (1, -2). Найти координаты точки М - середины отрезка АВ и длину отрезка АМ.
9. Дан отрезок АВ. Заданы координаты точек А (2, 9) и М (1, 3). М - середина АВ. Найти координаты точки В.
10. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (8, 2), В (2, 6) и С (-4,4). Найти длину медианы СМ.
11. Определить вид треугольника АВС (равносторонний, равнобедренный, разносторонний или прямоугольный), если заданы координаты вершин треугольника А (1, 1), В (5, 6) и С (9, 1).
12. Даны точки А (4, 1), В (3,5) и С (- 1,4). Доказать, что треугольник прямоугольный.
13. Даны точки А (4, -6) и В (1, 2). Найти координаты вектора , длину вектора и разложение его по единичным векторам.
14. Заданы вектора с координатами 
и 
. Найти координаты и длину результирующего вектора 
15. Даны четыре вектора 
Выяснить какие из этих векторов перпендикулярные, какие - сонаправленные, какие – противоположенные.
16. Найти косинус угла между векторами 
и 
17. Даны два вектора 
и 
. Определить вид угла между векторами (тупой, острый или прямой)
18. Найти скалярное произведение двух векторов, если 
между векторами равен 60 
.
19. Вектора 
перпендикулярны. Длина вектора 
равна 1, а длины векторов 
и 
равны 2. Угол между векторами 
и равен 60 Найти величину скалярного произведения 
+ 
20. В квадрате АВСD сторона равна 4. Найти скалярные произведения векторов 
.
21. В ромбе АВСD сторона равна 5, острый угол В равен 60 . Найти скалярные произведения векторов 
.
22. При каких 
вектора 
и 
коллинеарны?
23. При каких 
вектора 
и 
будут перпендикулярны?
24. При каких длина вектор 
будет равна 5?
25. Даны четыре точки А (-1, 2), В (2, 5), С (0, -4) и 
(3, 2). Составить уравнения прямых АВ и С и найти координаты их точки пересечения.
26. Дана прямая 
Найти координаты точек пересечения этой прямой с осями координат.
27. Окружность с центром в точке О (3,4) проходит через точку А (6,5). Составить уравнение окружности.
28. В окружности АВ – диаметр. А (2, -2) и В (-8, 6). Составить уравнение окружности.
29. Дано уравнение прямой 
. Составить уравнение любой прямой, параллельной данной прямой и прямой, перпендикулярной к ней.
30. Выяснить сколько общих точек имеют окружность 
и прямая 
.
31. Найти точки пересечения окружности 
.
Часть 2. Стереометрия
Раздел 1. Геометрические тела
Тема 1.1. Призма
1). Классификация
| Призма |
| Прямая призма Боковое ребро перпендикулярно к основанию. Боковые грани – прямоугольники. |
| Наклонная призма Боковое ребро наклонено к основанию. Боковые грани - параллелограммы |
| Прямоугольный параллелепипед В основании – прямоугольник. |
| Правильная призма В основании – правильный многоугольник |
| Прямой параллелепипед В основании – параллелограмм. |
| Куб Все грани - равные квадраты |
| Правильная треугольная призма В основании – равносторонний треугольник треугольник |
| Правильная четырехугольная призма В основании – квадрат |
| Правильная шестиугольная призма В основании – правильный шестиугольник |
2). Основные элементы призмы, понятия и обозначения
B C 
A 
E D 
1. 
высота призмы (в прямой призме совпадает с боковым ребром) - 
2. 
диагональное сечение призмы (сечение, проходящее через боковое ребро и диагональ призмы). Площадь диагонального сечения - 
3. Угол 
наклона диагонали призмы к основанию (угол между диагональю призмы и диагональю основания) - 
4. Площадь боковой грани призмы - 
5. Площадь боковой поверхности призмы (сумма всех площадей боковых граней - 
или 
6. Площадь основания призмы (площадь нижней грани призмы) - 
7. Площадь полной поверхности призмы (площадь всех граней призмы) - 
= 
8. Объем призмы - 
Куб
Состоит из шести одинаковых квадратов со стороной 
Все четыре диагонали куба равны
B C 
A D 
Прямоугольный параллелепипед
В основании лежит прямоугольник.
Измерения параллелепипеда: длина (), ширина (
) и высота (c)
Состоит из шести попарно равных прямоугольника
Диагонали и диагональные сечения равны
B C 
C 
A D 
Прямой параллелепипед
В основании лежит параллелограмм или ромб
Два разных диагональных сечения и четыре попарно равных диагонали
c 
B C 
A 
b D
Правильная треугольная призма
В основании лежит равносторонний треугольник со стороной
Боковая поверхность состоит из трех равных прямоугольников
A B 
C
Правильная четырехугольная призма
В основании лежит квадрат со стороной
Боковая поверхность состоит из четырех равных прямоугольников
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
|
|
