Данный метод применяется для решения нелинейных уравнений. Если нелинейное уравнение достаточно сложное, то найти точно его корни удается весьма редко. Важное значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценка степени их точности.
Пусть f(x)=0 (1)
Где f(x)определена и непрерывна в некотором конечном и бесконечном интервале a<x<b. Требуется найти все или некоторые корни уравнения (1).Всякое значение , обращающее функцию f(x)в нуль, называется корнем уравнения (1). Поставленная задача распадается на несколько этапов:
1. Отделение корней, т.е. установление возможно более тесных промежутков [ , ], в которых содержится только по одному корню.
2. Нахождение приближенных (грубых) значений корней.
3. Вычисление корней с требуемой точностью.
Первая и вторая задача решаются аналитическими и графическими методами.
Отделение корней
Если уравнение f(x) = 0 имеет только действительные корни, то полезно составить таблицу значений функции f(x). Если в двух соседних точках и функция имеет разные знаки, то между этими точками лежит по меньшей мере один корень. Корень будет заведомо единственным, если определена на отрезке [ , ]и сохраняет постоянный знак.
Графические методы
Действительные корни уравнения f(x) = 0 приближенно можно определить как абсциссы точек пересечения графика функции f(x)с осью x.
Приближенные значения корней, найденные грубо, в дальнейшем уточняют с помощью какого-либо итерационного метода.
Метод дихотомии
Дихотомия означает деление пополам. Пусть нашли такие точки и , что < 0, т.е. на [ , ] лежит по меньшей мере один корень. Найдем середину отрезка [ , ]. Получаем . Если f(x2) = 0, то если f() 0, то из двух половин отрезка выберем ту, для которой выполняется условие < 0, т.к. корень лежит на этой половине. Затем вновь делим выбранный отрезок пополам и выбираем ту половину, на концах которой функция имеет разные знаки.
Если требуется найти корень с точностью , то продолжим деление пополам (если конечно функция в середине какого-либо отрезка не обращается в нуль), пока длина очередного отрезка не станет < 2 . Тогда середина последующего отрезка установит значение с требуемой точностью. Метод дихотомии прост и очень надежен. Он сходится для любых непрерывных функций f(x), в том числе не дифференцируемых.
Метод устойчив к ошибкам округления, но скорость сходимости невелика. К недостаткам метода следует отнести сходимость к неизвестно какому корню (если корни не отделены). Но указанный недостаток имеется у всех итерационных методов. Дихотомия применяется тогда, когда требуется высокая надежность счета, а скорость сходимости малосущественна. Метод иногда применяется для грубого нахождения корней с последующим уточнением по другому методу с большей скоростью сходимости.
Этот метод относится к двусторонним (или к двух шаговым) методам, т.к. для вычисления очередного приближения необходимо знать два предыдущих.
Алгоритм решения
Для нахождения максимума функции будем перебирать всевозможные переменные xi, , с шагом необходимой длины.
Затем будем находить значение функции с() методом дихотомии.
Для этого вычислим производную функции , зависящей от с, и приравняем ее к 0.
Найдем корень этого нелинейного уравнения методом дихотомии.
Подставим конкретный набор и при нем найденное в исходную функцию, и получим ее значение.
Перебирая все xi, найдем максимум функции.
Перебирая всевозможные параметры p и q, получим некоторые наборы (в зависимости от p и q) на которых функция достигает максимума.