Свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования .

2. Для любой постоянной с: .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла .

4. Интеграл от суммы двух интегрируемых функций на [ a;b ] равен сумме интегралов , свойство распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

5. .

Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если функция непрерывна на [ a;b ] и какая-либо ее первообразная на [ a;b ] (), то имеет место формула

Формула называется формулой Ньютона-Лейбница, она устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралом и дает удобное правило вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции на отрезке [ a;b ], надо найти ее первообразную и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка [ a;b ].

Пример. .

Вычисление площади плоских фигур в прямоугольной системе координат.

y=f(x)

Рисунок 2.2 – Криволинейная трапеция для

y=f(x)

Рисунок 2.3 – Криволинейная трапеция для

y=f₁(x)

y=f₂(x)

Рисунок 2.4 – Криволинейная трапеция для f₂ (x)≥ f₁ (x)

, если (рис. 2.2). Если криволинейная трапеция расположена ниже оси Ох, т.е. , то (рис. 2.3). Если фигура ограничена двумя линиями y=f₁ (x) и y=f₂ (x), причем f₂ (x)≥ f₁ (x) для любого х из отрезка [ а;b ], то площадь вычисляется по формуле (рис. 2.4).

Если плоская фигура имеет сложную форму, то прямыми, параллельными оси Оу ее следует разбить на части так, чтобы можно было применить уже известные формулы.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = – х ² +6 х –5, у = 1 – х.

Построим данную фигуру. Графиком первой функции является парабола,

ветвь параболы направлена вниз (рис. 2.5). Найдем точки пересечения параболы с осью ОХ: – х ² + 6 х – 5 = 0; х ² - 6 х + 5 = 0;

; х ₁ = 5; х ₂ = 1. Найдем точки пересечения параболы с ОУ: при х = 0 у = – 5. Построим прямую у = 1 – х: при х = 0 у = 1; при у = 0 х = 1. Найдем точки пересечения параболы и прямой: