О п р е д е л е н и е. Евклидовы пространства и называются изоморфными, если существует биективное отображение , которое сохраняет законы композиции и скалярное произведение, т.е. если:
1) ,
2) ,
3) .
Само отображение при этом называется изоморфизмом евклидовых пространств или изометрией.
Точно так же определяется изоморфизм унитарных пространств и .
Из определения следует, что изоморфные евклидовы(унитарные) пространства изоморфны как линейные пространства.
Т е о р е м а. Два евклидовых(унитарных) пространства изоморфны тогда, и только тогда, когда равны их размерности.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть и - оба евклидовы(унитарные) пространства и пусть . Выберем в и ортонормированные базисы и и построим отображение , положив для каждого вектора вектор . Из доказательства теоремы () следует, что отображение - изоморфизм линейных пространств и . Оно сохраняет скалярное произведение, так как если и , то согласно (3.7) имеем
и . #