2020-05-11
121
О п р е д е л е н и е. Множество М называется метрическим пространством, если задано отображение
которое каждой упорядоченной паре элементов 
ставит в соответствие число 
такое, что:
1) 
, 
, 
2) 
, ,
3) 
, 
,
Число 
называется расстоянием между x и y; отображение 
- метрикой, аксиомы 1)-3) – аксиомами метрики(расстояния).
О п р е д е л е н и е. Расстоянием между множествами X и Y в метрическом пространстве называется число
. (6.1)
Т е о р е м а. В евклидовом(унитарном) пространстве Vправило
(6.2)
задает метрику.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, правило (6.2) определяет отображение 
, которое отвечает всем аксиомам метрики. Проверка аксиом тривиальна, отметим только одну из них:
, 
. #
Итак, Е(U) пространство является метрическим пространством относительно метрики (6.2).
Т е о р е м а. (о кратчайшем расстоянии). Расстояние между вектором 
и линейным подпространством P в евклидовом(унитарном) пространстве равно длине перпендикуляра, опущенного из вектора на P.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 
, где 
, и 
- произвольный вектор из P. Тогда 
. Отсюда следует, что 
и 
. Это означает, что 
. #
Эта теорема может быть переформулирована также и в других терминах:
1) расстояние между вектором и подпространством Р равно расстоянию между вектором и его ортогональной проекцией на Р;
2) среди всех векторов подпространства Р ближе всего к вектору расположена его ортогональная проекция на Р.
