Устойчивость движений консервативных и обобщенно– консервативных систем в окрестности положений равновесия

Понятие устойчивости движений. Пусть уравнения движения механической системы имеют каноническую форму

,

где  есть вектор – функция векторного аргумента .

В переменных Лагранжа                  

В переменных Гамильтона                                                   

Изучается устойчивость некоторого множества решений   уравнений движения, для которых начальные условия   находятся в малой окрестности некоторого положения равновесия системы, то есть   

Определение. Решение уравнений движения механической системы    называется устойчивым (по Ляпунову), если

Устойчивое решение называется асимптотически устойчивым, если

Ляпунов сформулировал условия устойчивости невозмущенного решения в теореме Ляпунова об устойчивости построением функции Ляпунова: если для решения уравнения можно построить такую положительно определенную функцию H, полная производная по времени от которой в малой окрестности  на решениях меньше или равна нулю:

то решение   устойчиво по Ляпунову.

Построение функции Ляпунова некоторых уравнений движения не имеет конструктивного алгоритма, поэтому представляет определенные трудности. Однако в консервативных системах функция Гамильтона может играть роль функции Ляпунова.

Далее для решения некоторых задач по устойчивости движений будут использоваться достаточные условия устойчивости некоторых классов движений.

Достаточные условия устойчивости локальных положений равновесия консервативных систем. Теорема Дирихле – Лагранжа.

Пусть  в консервативной системе нет циклических координат и существуют локальные (изолированные) положения равновесия, которые можно найти из условий экстремальности потенциальной энергии  в положении равновесия:

Теорема Дирихле - Лагранжа. Если в положении равновесия  потенциальная энергия консервативной системы имеет локальный минимум, то положение равновесия устойчиво по Ляпунову (по обобщенным координатам и скоростям).

Минимум потенциальной энергии U в положении равновесия   определяется положительной определенностью матрицы из коэффициентов второго дифференциала потенциальной энергии . Часто критерия Сильвестра достаточно, чтобы проверить положительную определенность матрицы С: все главные миноры матрицы должны быть положительны.