Рассмотрим стационарный случайный процесс x (t), -∞< t <∞ у которого удалено математическое ожидание, так что M x (t)=0. В силу стационарности для автокорреляционной функции и дисперсии выполняются соотношения
Дополнительно предположим, что K (τ) интегрируема на всей числовой оси:
Теорема. Такому процессу x (t) можно единственным образом сопоставить процесс с ортогональными приращениями Ф x (u) такой, что
- (6.1)
Функция S (u) называется спектральной плотностью процесса x (t).
Замечание. На представлении (6.1) основано доказательство всех основных теорем о стационарных случайных процессах. При этом основное соотношение, которое необходимо помнить при вычислениях с дельта-функцией δ(u-v), имеет вид:
(6.2)
Теорема Винера-Хинчина (ее называют также теоремой Герглотца).
Т. обр., корреляционная функция стационарного процесса является обратным преобразованием Фурье его спектральной плотности.
|
|
Доказательство.
Следствие. Другими словами, спектральная плотность стационарного процесса является преобразованием Фурье его автокорреляционной функции.