Дискретизация. Частота Найквиста и теорема Котельникова

Исходный физический сигнал x (t) является непрерывной функцией времени и называется аналоговым. Числа x_k = x (t_k) называются отсчетами сигнала. Как правило, отсчеты берутся через равные промежутки времени Δ t – период или шаг дискретизации. Величина f_d, обратная периоду дискретизации, называется частотой дискретизации:

Если Δ t выражен в секундах, то частота дискретизации выражается в герцах (Гц).

При обработке сигнала в вычислительных устройствах его отсчеты округляются и представляются в виде двоичных чисел с конечным числом разрядов. Такое округление называется квантованием по уровню. Обычно дискретизация и квантование выполняются внутри одной микросхемы. Сигнал, дискретный по времени и квантованный по уровню, называется цифровым сигналом.

     Если в сигнале x (t) присутствует периодическая составляющая с периодом T <2Δ t, то есть с частотой f >1/2Δ t, то в дискретизованном сигнале она наблюдаться не будет, но в нем останутся ложные периодические составляющие с периодами 2 T, 3 T и т.д. Таким образом, частоту (аргумент f спектральной плотности) имеет смысл анализировать только на интервале

[ -1/(2Δ t), 1/(2Δ t)].

Граничную частоту F = 1/(2Δ t) называют частотой Найквиста. Спектральную плотность в силу симметрии обычно рассматривают только на промежутке [0, 1/(2Δ t)], удваивая ее значения при положительных f для сохранения основных энергетических соотношений. Именно такая спектральная плотность измеряется на практике с помощью прямой фильтрации.

    Если для процесса x (t) заранее известно, что в нем отсутствуют периодические составляющие с частотами большими, чем некоторая величина F, то соответствующий дискретизованный процесс с шагом Δ t ≤1/(2 F) несет в себе всю информацию о частотном составе исходного x (t). Этот результат носит название теоремы Котельникова.

   Рассмотрим теперь ряд измерений { x_k }, из которого тренд, сезонная состав­ляющая и периодические составляющие либо исключены, либо их в нем не было. При этом, если речь идет о сравнении нескольких рядов, требуется, чтобы во всех них выде­ление этих составляющих было произведено одним и тем же способом. В большинстве случаев модель такого ряда { x_k } можно построить, рассматривая его как результат дискретизации некоей реализации стационарного эргодического случайного процесса   x (t):

x_k = x (k D t).

Еще одна важная возможность состоит в том, чтобы перейти в ряде { x_k } к конечным разностям:

y_k = x_{k+ 1} - x_k; z_k = y_{k+ 1} - y_k и т.д.

Разности достаточно высокого порядка не содержат медленно меняющихся составляющих и их обычно можно изучать методами, применяемыми для ста­ционарных рядов. Этот подход может использоваться в задачах распозна­вания, когда нужно создать некий обобщенный «портрет» ряда и сравни­вать его с «портретами» других рядов, прошедших такую же обработку. Кроме того, многие процедуры прогнозирования исходного ряда можно по­лучать из процедур прогнозирования рядов их конечных разностей.

    Ряд измерений { x_k }, моделью которого является стационарный эргодический случайный процесс с дискретным временем, называется стационарным временным рядом.